Cho hình lăng trụ tam giác ABC . A ′B ′C ′ có các cạnh bên hợp với đáy những góc bằng 60 độ , đáy ABC là tam giác đều cạnh a và A ′ cách đều A , B , C . Khoảng cách giữa hai đáy c

28/38

Cho hình lăng trụ tam giác \[ABC.A'B'C'\] có các cạnh bên hợp với đáy những góc bằng \[60^\circ \], đáy \[ABC\] là tam giác đều cạnh \(a\) và \[A'\] cách đều \[A\], \[B\], \[C\]. Khoảng cách giữa hai đáy của hình lăng trụ là

\[a\].

\[a\sqrt 2 \].

\(\frac{{a\sqrt 3 }}{2}\).

\(\frac{{2a}}{3}\).

Giải thích

Đáp án đúng là: A

Đáp án đúng là: D (ảnh 1)

Vì \[\Delta ABC\]đều và \[AA' = A'B = A'C \Rightarrow A'.ABC\] là hình chóp đều.

Gọi \[A'H\]là chiều cao của lăng trụ, suy ra \(H\) là trọng tâm \[\Delta ABC\], \[\widehat {A'AH} = 60^\circ \].

Gọi \(M\) là trung điểm của \(BC\).

Tam giác \[ABC\] là tam giác đều cạnh \(a\) nên \(AM = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\).

Suy ra \(AH = \frac{2}{3}AM = \frac{2}{3} \cdot \frac{{a\sqrt 3 }}{2} = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}\).

Tam giác \(A'AH\) vuông tại \(H\) có \[A'H = AH \cdot \tan 60^\circ = \frac{{a\sqrt 3 }}{3} \cdot \sqrt 3 = a\].

Vậy \(d\left( {\left( {ABC} \right),\,\left( {A'B'C'} \right)} \right) = d\left( {A',\,\left( {ABC} \right)} \right) = A'H = a\).