Cho hình lăng trụ đứng \[ABC.A'B'C'\]có chiều cao bằng 5, đáy là tam giác vuông cân tại

18/22

Cho hình lăng trụ đứng \[ABC.A'B'C'\]có chiều cao bằng 5, đáy là tam giác vuông cân tại \[A\], cạnh bằng 3. \[M\] là trung điểm của \[BC\]. Góc tạo bởi đường thẳng \[A'M\] và \[AB\] bằng \[a^\circ \] ( kết quả làm tròn đến hàng đơn vị). Giá trị \[a\] là

Giải thích

$Cho hình lăng trụ đứng \[ABC.A'B'C'\]có chiều cao bằng 5, đáy là tam giác vuông cân tại (ảnh 1)$

Chọn hệ tọa độ \[Oxyz\] như hình vẽ trên. Khi đó \[A\left( {0\,;\,0\,;\,0} \right)\],\[A'\,\left( {0\,;\,0\,;\,5} \right)\],\[B\,\left( {3\,;\,0\,;\,0} \right)\], \[C\,\left( {0\,;\,3\,;\,0} \right)\].

Vì \[M\] là trung điểm \[BC\]nên \[M\,\left( {\frac{3}{2}\,;\,\frac{3}{2}\,;\,0} \right)\].

Đường thẳng \[AB\] có vectơ chỉ phương \[\overrightarrow {AB} = \,\left( {3\,;\,0\,;\,0} \right)\], đường thẳng \[A'M\] có vectơ chỉ phương \[\overrightarrow {A'M} = \,\left( {\frac{3}{2}\,;\,\frac{3}{2}\,;\, - 5} \right)\].

Vậy \[\cos \left( {AB,A'M} \right) = \frac{{\left| {\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {A'M} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {AB} } \right|.\left| {\overrightarrow {A'M} } \right|}} = \frac{{\left| {3.\frac{3}{2} + 0.\frac{3}{2} + 0.\left( { - 5} \right)} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {0^2} + {0^2}} .\sqrt {{{\left( {\frac{3}{2}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{3}{2}} \right)}^2} + {{\left( { - 5} \right)}^2}} }} = \frac{3}{{\sqrt {118} }}\].

Suy ra \[\left( {AB,A'M} \right) = 74^\circ \].