Cho hình lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy là tam giác đều cạnh a và thể tích là 3a^3/8.

Giải chi tiết:

Diện tích tam giác \[ABC\] là \({S_{ABC}} = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}\).

Ta có \({V_{ABC.A'B'C'}} = AA'.{S_{ABC}} \Rightarrow AA' = \frac{{{V_{ABC.A'B'C'}}}}{{{S_{ABC}}}} = \frac{{\frac{{3{a^3}}}{8}}}{{\frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}}} = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\).

Gọi \(H\) là hình chiếu vuông góc của \(A\) trên \[BC.\] Khi đó \(BC \bot \left( {AA'H} \right)\) nên \(HA' \bot BC\).

Ta có \(AH = \frac{{AB\sqrt 3 }}{2} = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\), \({\rm{tan}}\widehat {AHA'} = \frac{{AA'}}{{AH}} = \frac{{\frac{{a\sqrt 3 }}{2}}}{{\frac{{a\sqrt 3 }}{2}}} = 1 \Rightarrow \widehat {AHA'} = {45^0}\).