Cho hình lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy là tam giác đều cạnh a

15/86

Cho hình lăng trụ đứng \(ABC.A'B'C'\) có đáy là tam giác đều cạnh \(a\) và thể tích là \(\frac{{3{a^3}}}{8}\). Tính số đo góc nhị diện phẳng \(\left[ {A',BC,A} \right]\).

\({30^ \circ }\).

\({45^ \circ }\).

\({60^ \circ }\).

\({120^ \circ }\).

Giải thích

Đáp án đúng là B

Phương pháp giải

Để xác định góc nhị diện phẳng của hai nửa mặt phẳng, đầu tiên, ta tìm giao tuyến của chúng. Sau đó, từ một điểm trên giao tuyến, xác định hai tia cùng vuông góc với giao tuyến sao cho mỗi tia lần lượt thuộc mỗi nửa mặt phẳng đó. Khi đó, góc tạo bởi hai tia vừa xác định chính là góc nhị diện phẳng của hai nửa mặt phẳng.

Lời giải

Cho hình lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy là tam giác đều cạnh a (ảnh 1)

Diện tích tam giác \(ABC\) là \({S_{ABC}} = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}\).

Ta có \({V_{ABC.A'B'C'}} = AA'.{S_{ABC}} \Rightarrow AA' = \frac{{{V_{ABC.A'B'C'}}}}{{{S_{ABC}}}} = \frac{{\frac{{3{a^3}}}{8}}}{{\frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}}} = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\).

Gọi \(H\) là hình chiếu vuông góc của \(A\) trên \(BC\). Khi đó \(BC \bot \left( {AA'H} \right)\) nên \(HA' \bot BC\).

Do đó, góc nhị diện phẳng \(\left[ {A',BC,A} \right]\) là \(\widehat {AHA'}\).

Ta có \(AH = \frac{{AB\sqrt 3 }}{2} = \frac{{a\sqrt 3 }}{2},\)

\({\rm{tan}}\widehat {AHA'} = \frac{{AA'}}{{AH}} = \frac{{\frac{{a\sqrt 3 }}{2}}}{{\frac{{a\sqrt 3 }}{2}}} = 1 \Rightarrow \widehat {AHA'} = {45^0}\).

Vậy số đo góc nhị diện phẳng \(\left[ {A',BC,A} \right]\) là \({45^ \circ }\).