Cho hình lăng trụ đứng (ABC.A'B'C') có đáy là tam giác cân tại A có AB = AC = 2a, góc CAB = 120^0. Mặt phẳng (AB'C') tạo với đáy một góc 60^0. Thể tích khối lăng trụ là:
Phương pháp giải:
- Xác định góc giữa hai mặt phẳng \(\left( {AB'C'} \right)\)và \(\left( {A'B'C'} \right)\)góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng nằm trong hai mặt phẳng và cùng vuông góc với giao tuyến.
- Sử dụng tỉ số lượng giác của góc nhọn trong tam giác vuông tính độ dài đường cao \(h = AA'\).
- Tính diện tích đáy \({S_{A'B'C'}}\), sử dụng công thức \(S = \frac{1}{2}ab\sin C\).
- Tính thể tích khối lăng trụ \(V = Sh\).
Giải chi tiết:
Gọi \(D\) là trung điểm của \(B'C'\). Vì tam giác \(A'B'C'\) cân tại \(A'\)nên \(A'D \bot B'C'\) (trung tuyến đồng thời là đường cao).
Ta có: \(\left. {\begin{array}{*{20}{l}}{A'D \bot B'C'}\\{AA' \bot B'C'}\end{array}} \right\} \Rightarrow B'C' \bot \left( {AA'D} \right) \Rightarrow B'C' \bot AD\)
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\left( {AB'C'} \right) \cap \left( {A'B'C'} \right) = B'C'}\\{\left( {AB'C'} \right) \supset AD \bot B'C'}\\{\left( {A'B'C'} \right) \supset A'D \bot B'C'}\end{array}} \right.\)\( \Rightarrow \angle \left( {\left( {AB'C'} \right);\left( {A'B'C'} \right)} \right) = \angle \left( {AD;A'D} \right) = \angle ADA' = {60^0}\)
Vì tam giác \(A'B'C'\)cân tại \(A'\)nên \(\angle DA'C' = \frac{1}{2}\angle B'A'C' = {60^0}\) (trung tuyến đồng thời là phân giác).
Xét tam giác vuông \(A'C'D\) có: \(A'D = A'C'.cos{60^0} = 2a.\frac{1}{2} = a.\)
Xét tam giác vuông \(AA'D\)có: \(AA' = A'D.\tan {60^0} = a.\sqrt 3 .\)
Ta có: \({S_{ABC}} = \frac{1}{2}AB.AC.\sin \angle BAC = \frac{1}{2}.2a.2a.\frac{{\sqrt 3 }}{2} = {a^2}\sqrt 3 .\)
Vậy VABC.A'B'C'=AA'.SABC=a3.a23 =3a3.