Cho hình lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy là tam giác ABC vuông tại B , BC = a √ 3 , AC = 2a . Biết AA ′ = 2a , khoảng cách từ C ′ đến mặt phẳng ( A ′BC ) là:

12/49

Cho hình lăng trụ đứng $ABC.A'B'C'$ có đáy là tam giác $ABC$ vuông tại $B$, $BC = a\sqrt 3 ,AC = 2a$. Biết $AA' = 2a$, khoảng cách từ $C'$ đến mặt phẳng $\left( {A'BC} \right)$ là:

$\frac{{a\sqrt 5 }}{2}$.

$a\sqrt 2 $.

$\frac{{a\sqrt 2 }}{2}$.

$\frac{{2a\sqrt 5 }}{5}$.

Giải thích

$Có \(SA \bot \left( {AB (ảnh 1)$

Ta có $AB = \sqrt {A{C^2} - B{C^2}} = \sqrt {{{\left( {2a} \right)}^2} - {{\left( {a\sqrt 3 } \right)}^2}} = a$.

Gọi $H$ là hình chiếu của $A$ trên $A'B$.

Khi đó $AH \bot \left( {A'BC} \right) \Rightarrow d\left( {A,\left( {A'BC} \right)} \right) = AH$.

Ta có $AH = \frac{{AA' \cdot AB}}{{\sqrt {A{{A'}^2} + A{B^2}} }} = \frac{{2a \cdot a}}{{\sqrt {{{\left( {2a} \right)}^2} + {a^2}} }} = \frac{{2a\sqrt 5 }}{5}$.

Gọi $O$ là giao điểm của $AC'$ và $A'C$.

Suy ra $O$ là trung điểm của $AC'$, đồng thời $O$ giao điểm của $AC'$ và $\left( {A'BC} \right)$.

Do đó \[\frac{{d\left( {C',\left( {A'BC} \right)} \right)}}{{d\left( {A,\left( {A'BC} \right)} \right)}} = \frac{{C'O}}{{AO}} = 1 \Rightarrow d\left( {C',\left( {A'BC} \right)} \right) = d\left( {A,\left( {A'BC} \right)} \right) = AH = \frac{{2a\sqrt 5 }}{5}\]. Chọn D.