Cho hình lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB = BC = a, BB' = a căn bậc hai 3. Tính góc giữa đường thẳng A'B và mặt phẳng (BCC'B').

5/21

Cho hình lăng trụ đứng \[ABC.A'B'C'\] có đáy \[ABC\] là tam giác vuông tại \[B\], \[AB = BC = a\], \[BB' = a\sqrt 3 \]. Tính góc giữa đường thẳng \[A'B\] và mặt phẳng \[\left( {BCC'B'} \right)\].

\[45^\circ \].

\[30^\circ \].

\[60^\circ \].

\[90^\circ \].

Giải thích

Cho hình lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB = BC = a, BB' = a căn bậc hai 3. Tính góc giữa đường thẳng A'B và mặt phẳng (BCC'B'). (ảnh 1)

Hình lăng trụ đứng \[ABC.A'B'C'\] nên \[BB' \bot \left( {A'B'C'} \right)\]\[ \Rightarrow BB' \bot A'B'\]\[ \Rightarrow A'B' \bot BB'\] \[\left( 1 \right)\]

Bài ra có \[AB \bot BC\]\[ \Rightarrow A'B' \bot B'C'\].

Kết hợp với \[\left( 1 \right)\] \[ \Rightarrow A'B' \bot \left( {BCC'B'} \right)\] \[ \Rightarrow \widehat {\left( {A'B;\left( {BCC'B'} \right)} \right)} = \widehat {A'BB'}\]

\[ \Rightarrow \tan \widehat {\left( {A'B;\left( {BCC'B'} \right)} \right)} = \tan \widehat {A'BB'}\]\[ = \frac{{A'B'}}{{BB'}}\]\[ = \frac{a}{{a\sqrt 3 }}\]\[ = \frac{1}{{\sqrt 3 }}\]\[ \Rightarrow \widehat {\left( {A'B;\left( {BCC'B'} \right)} \right)} = 30^\circ \].