Cho hình lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB = a, AA' = 2a. Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (A'BC)

7/22

Cho hình lăng trụ đứng \[ABC.A'B'C'\] có đáy \[ABC\] là tam giác vuông tại \[B\], \[AB = a\], \[AA' = 2a\]. Tính khoảng cách từ điểm \[A\]đến mặt phẳng \[\left( {A'BC} \right)\]

\(2\sqrt 5 a\).

\(\frac{{2\sqrt 5 a}}{5}\).

\(\frac{{\sqrt 5 a}}{5}\).

\(\frac{{3\sqrt 5 a}}{5}\).

Giải thích

Cho hình lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB = a, AA' = 2a. Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (A'BC) (ảnh 1)

Dựng \[AH \bot A'B\].

Ta có \[\left. \begin{array}{l}BC \bot AB\\BC \bot AA'\end{array} \right\} \Rightarrow BC \bot \left( {A'AB} \right)\]\[ \Rightarrow BC \bot AH\]

Vậy \[AH \bot \left( {A'BC} \right)\]\[ \Rightarrow d\left( {A,\left( {A'BC} \right)} \right) = AH\].

Xét tam giác vuông \[A'AB\] có \[\frac{1}{{A{H^2}}} = \frac{1}{{A{{A'}^2}}} + \frac{1}{{A{B^2}}}\]\[ \Leftrightarrow AH = \frac{{2\sqrt 5 a}}{5}\].