Cho hình lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông tại A, biết AB = 2, AC = 3,  AA' = 4. Gọi M là trung điểm của AB. Khoảng cách giữa hai đường thẳng A'B  và CM bằng bao nhiêu? (k

Lời giải

Đáp án: 0,86.

Gọi \(N\) là trung điểm của \(AA';\) kẻ \(AH \bot BA'\) tại \(H;AK \bot CI\) tại \(K.\) Khi đó  (đường trung bình tam giác \(ABA'\)), mà \(MN \subset (CMN)\) nên .

Do đó \({\rm{d}}(BA',CM) = {\rm{d}}(BA',(CMN)) = {\rm{d}}(H,(CMN)) = {\rm{d}}(A,(CMN)) = AK{\rm{ (v\`i  }}AK \bot (CMN){\rm{)}}{\rm{.}}\)

Chứng minh \(AK \bot (CMN)\)

Lăng trụ đứng nên \(AC \bot AA'\); \(\Delta ABC\) vuông tại \(A\) nên \(AC \bot AB \Rightarrow AC \bot (ABA')\)

Mà \(MN \subset (ABA') \Rightarrow MN \bot AC\)

Mặt khác

\(AH \cap AC = A \Rightarrow MN \bot (CMN),AK \subset (CMN) \Rightarrow AK \bot MN\)

\(AK \bot CI,MN \cap CM = I \Rightarrow AK \bot (CMN).\)

Ta có \(A{K^2} = \frac{{A{I^2}.A{C^2}}}{{A{I^2} + A{C^2}}} = \frac{{\frac{{A{M^2}.A{N^2}}}{{A{M^2} + A{N^2}}}.A{C^2}}}{{\frac{{A{M^2}.A{N^2}}}{{A{M^2} + A{N^2}}} + A{C^2}}} = \frac{{\frac{{1.4}}{{1 + 4}}.9}}{{\frac{{1.4}}{{1 + 4}} + 9}} = \frac{{36}}{{49}} \Rightarrow AK = \frac{6}{7} \approx 0,86.\)