Cho hình lăng trụ đứng ABC.A′B′C′ có đáy ABC là tam giác đều cạnh 1 và AA′ = √2. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng A′B và B′C (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).

Gọi \(D\) là điểm đối xứng với \(A\) qua \(B\) thì khi đó \(A'B\parallel B'D\)

Suy ra \[d\left( {A'B;B'C} \right) = d\left( {A'B;\left( {B'D} \right)} \right) = d\left( {B;\left( {B'CD} \right)} \right)\]

Kẻ \(BK \bot CD\left( {K \in CD} \right)\) thì ta có \(BA = BC = BD\) nên \(\Delta ACD\) vuông tại \(C\) mà \(BK\parallel AC\)

Mặt khác: \(B\) là trung điểm của \(AD\) nên \(K\) là trung điểm của \(CD\) và \(BK = \frac{1}{2}AC = \frac{1}{2}\)

Kẻ \(BH \bot B'K\) tại \(H\) thì ta suy ra được \(d\left( {B;\left( {B'CD} \right)} \right) = BH\)

Ta có: \(\frac{1}{{B{H^2}}} = \frac{1}{{B{K^2}}} + \frac{1}{{B{{B'}^2}}} = \frac{4}{{{1^2}}} + \frac{1}{{{{2.1}^2}}} = \frac{9}{{{{2.1}^2}}} \Rightarrow BH = \frac{{\sqrt 2 }}{3}\)

Vậy $d\left(B;\left(B^{\text{'}}CD\right)\right)=\frac{\sqrt{2}}{3}\approx \boxed{\mathrm{0,47}}$.