Cho hình lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác đều

32/50

Cho hình lăng trụ đứng \(ABC.A'B'C'\) có đáy ABC là tam giác đều. Cạnh \(AA' = a\sqrt 6 \) và khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng \(\left( {A'BC} \right)\) là \(a\sqrt 2 \). Tính thể tích V của khối lăng trụ \(ABC.A'B'C'\).

\(V = {a^3}\sqrt 2 \).

\(V = 2{a^3}\sqrt 2 \).

\(V = 3{a^3}\sqrt 2 \).

\(V = 4{a^3}\sqrt 2 \).

Giải thích

Đáp án C

Cho hình lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác đều (ảnh 1)

Kẻ \[AH \bot BC,AP \bot A'H \Rightarrow d\left( {A';\left( {A'BC} \right)} \right) = AP = a\sqrt 2 \].

\[\frac{1}{{A{H^2}}} = \frac{1}{{A{P^2}}} - \frac{1}{{A'{A^2}}} \Rightarrow AH = a\sqrt 3 \].

\[\Delta ABC\] đều \[ \Rightarrow AH = \frac{{AB\sqrt 3 }}{2} \Rightarrow AB = 2a\]

\[ \Rightarrow V = AA'.{S_{ABC}} = AA' - \frac{{A{B^2}\sqrt 3 }}{4} = 3{a^3}\sqrt 2 \].