Cho hình lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác cân tại C, biết góc BAC= 30 độ, AB = a căn bậc hai 3 , AA' = 2a. Gọi D là trung điểm BB'. Tính theo a thể tích khối chóp A.BCC'D

19/35

Cho hình lăng trụ đứng \[ABC.A'B'C'\] có đáy \[ABC\] là tam giác cân tại \[C\], biết \[\widehat {BAC} = 30^\circ \], \[AB = a\sqrt 3 ,\] \[AA' = 2a\]. Gọi \[D\] là trung điểm \[BB'\]. Tính theo \[a\] thể tích khối chóp \[A.BCC'D\].

\[\frac{{\sqrt 3 {a^3}}}{3}\].

\[\frac{{\sqrt 3 {a^3}}}{8}\].

\[\frac{{\sqrt 3 {a^3}}}{6}\].

\[\frac{{\sqrt 3 {a^3}}}{4}\].

Giải thích

Lời giải

Cho hình lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác cân tại C, biết góc BAC= 30 độ, AB = a căn bậc hai 3 , AA' = 2a. Gọi D là trung điểm BB'. Tính theo a thể tích khối chóp A.BCC'D (ảnh 1)

Vì \[ABC\] là tam giác cân tại \[C\] nên \[\widehat {BAC} = \widehat {ABC} = 30^\circ \Rightarrow \widehat {BCA} = 120^\circ \].

Theo định lí côsin ta có \[A{B^2} = C{A^2} + C{B^2} - 2 \cdot CA \cdot CB \cdot \cos C \Leftrightarrow 3{a^3} = 2C{A^2} + 2C{A^2} \cdot \frac{1}{2}\]

\[ \Leftrightarrow C{A^2} = {a^2} \Rightarrow CA = CB = a.\]

Diện tích tam giác \[ABC\] là \[{S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC \cdot \sin 30^\circ = \frac{{\sqrt 3 }}{4}{a^2}.\]

Thể tích khối lăng trụ là \[{V_{ABC.A'B'C'}} = AA' \cdot {S_{\Delta ABC}} = 2a \cdot \frac{{\sqrt 3 }}{4}{a^2} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}{a^3}.\]

Ta có \[\frac{{{V_{A.BCC'B'}}}}{{{V_{ABC.A'B'C'}}}} = \frac{2}{3} \Rightarrow {V_{A.BCC'B'}} = \frac{2}{3} \cdot {V_{ABC.A'B'C'}} = \frac{{\sqrt 3 }}{3}{a^3}.\]

\[\frac{{{V_{A.BCC'D}}}}{{{V_{A.BCC'B'}}}} = \frac{{{S_{BCC'D}}}}{{{S_{BCC'B'}}}} = \frac{3}{4} \Leftrightarrow {V_{A.BCC'D}} = \frac{3}{4} \cdot {V_{A.BCC'B'}} = \frac{{\sqrt 3 }}{4}{a^3}.\]Chọn D.