Cho hình lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy A B C là tam giác vuông cân tại A với BC = a và mặt bên AA ′B ′B là hình vuông. Thể tích của khối lăng trụ ABC.A'B'C' bă

34/38

Cho hình lăng trụ đứng \(ABC.A'B'C'\) có đáy \(ABC\) là tam giác vuông cân tại \(A\) với \(BC = a\) và mặt bên \(AA'B'B\) là hình vuông. Thể tích của khối lăng trụ \(ABC.A'B'C'\) bằng

\(\frac{{{a^3}\sqrt 2 }}{8}\).

\(\frac{{{a^3}\sqrt 2 }}{4}\).

\(\frac{{{a^3}}}{4}\).

\(\frac{{{a^3}}}{{12}}\).

Giải thích

Đáp án đúng là: A

Đáp án đúng là: D (ảnh 1)

Tam giác \(ABC\) là tam giác vuông cân tại \(A\). Đặt \(AB = AC = x\).

Ta có \(A{B^2} + A{C^2} = B{C^2} \Leftrightarrow {x^2} + {x^2} = {a^2} \Leftrightarrow 2{x^2} = {a^2} \Rightarrow x = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\).

Diện tích tam giác \(ABC\) là \({S_{ABC}} = \frac{1}{2}AB \cdot AC = \frac{1}{2} \cdot \frac{{a\sqrt 2 }}{2} \cdot \frac{{a\sqrt 2 }}{2} = \frac{{{a^2}}}{4}\).

Vì \(AA'B'B\) là hình vuông nên \(AA' = AB = x = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\).

Thể tích của khối lăng trụ \(ABC.A'B'C'\) là \(V = {S_{ABC}} \cdot AA' = \frac{{{a^2}}}{4} \cdot \frac{{a\sqrt 2 }}{2} = \frac{{{a^3}\sqrt 2 }}{8}\).