Cho hình lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có AB = AA' = 2a, AC = a, góc BAC = 120 độ

Phương pháp:

- Mặt cầu ngoại tiếp hình chóp ABCC'B' chính là mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ đứng ABC.A'B'C'.

- Sử dụng công thức tính nhanh: Gọi R là bán kính mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ, Rday là bán kính đường tròn ngoại tiếp đáy ABC, ta có R=h24+Rday2, với h là chiều cao hình trụ.

- Áp dụng định lí Cosin tính BC 

- Áp dụng định lí sin tính Rday:BCsin∠BAC=2Rday.

Cách giải:

Mặt cầu ngoại tiếp hình chóp ABCC'B' chính là mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ đứng ABC.A'B'C'

Gọi R là bán kính mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ, Rday là bán kính đường tròn ngoại tiếp đáy ABC, ta có R=h24+Rday2, với h là chiều cao lăng trụ.

Ta có: SΔABC=12.AB.AC.sin∠BAC=12.2a.a.sin1200=3a22.

Áp dụng định lí Cosin trong tam giác ABC ta có BC2=AB2+AC2−2AB.AC.cos∠BAC=7a2⇒BC=7a.

Áp dụng định lí Sin trong tam giác ABC ta có: BCsin∠BAC=2Rday⇒Rday=21a3.

Vậy bán kính mặt cầu ngoại tiếp chóp ABCC'B' là: R=h24+Rday2=4a24+7a23=30a3

Chọn A.