Cho hình lăng trụ đứng ABC . A ′B'C ′ có tất cả các cạnh bằng a . Gọi M là trung điểm của CC ′ . Khoảng cách từ M đến mặt phẳng ( A ′BC ) bằng?

29/49

Cho hình lăng trụ đứng $ABC.A'B'C'$ có tất cả các cạnh bằng $a$. Gọi $M$ là trung điểm của $CC'$. Khoảng cách từ $M$ đến mặt phẳng $\left( {A'BC} \right)$ bằng?

$\frac{{a\sqrt {21} }}{7}$.

$\frac{{a\sqrt {21} }}{{14}}$.

$\frac{{3a\sqrt {21} }}{{14}}$.

$\frac{{a\sqrt {21} }}{{21}}$.

Giải thích

$Ta có: \(\mathop \sma (ảnh 1)$

$C'M \cap \left( {A'BC} \right) = C$, suy ra $\frac{{d\left( {M,\left( {A'BC} \right)} \right)}}{{d\left( {C',\left( {A'BC} \right)} \right)}} = \frac{{C'M}}{{C'C}} = \frac{1}{2}$.

Ta có ${V_{C'.A'BC}} = \frac{1}{3}{V_{ABC.A'B'C'}} = \frac{1}{3} \cdot C'C \cdot {S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{3} \cdot a \cdot \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4} = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{{12}}$.

Lại có $A'B = a\sqrt 2 ,CB = a,A'C = a\sqrt 2 \Rightarrow {S_{A'BC}} = \frac{{{a^2}\sqrt 7 }}{4}$.

Suy ra $d\left( {C',\left( {A'BC} \right)} \right) = \frac{{3{V_{C'.A'BC}}}}{{{S_{{\rm{\Delta }}A'BC}}}} = \frac{{3 \cdot \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{{12}}}}{{\frac{{{a^2}\sqrt 7 }}{4}}} = \frac{{a\sqrt {21} }}{7}$.

Vậy $d\left( {M,\left( {A'BC} \right)} \right) = \frac{1}{2}d\left( {C',\left( {A'BC} \right)} \right) = \frac{1}{2} \cdot \frac{{a\sqrt {21} }}{7} = \frac{{a\sqrt {21} }}{{14}}$. Chọn B.