Cho hình lăng trụ đứng A B C . A ′ B ′ C ′ có đáy là tam giác đều cạnh a . Tính góc tạo bởi B ′ C và mặt phẳng ( A B B ′ A ′ ) biết B B ′ = a √ 2 / 2 .

6/22

Cho hình lăng trụ đứng \(ABC.A'B'C'\) có đáy là tam giác đều cạnh \(a\). Tính góc tạo bởi \(B'C\) và mặt phẳng \(\left( {ABB'A'} \right)\) biết \(BB' = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\).

\(45^\circ \).

\(60^\circ \).

\(90^\circ \).

\(30^\circ \).

Giải thích

Chọn A

Gọi \(H\) là hình chiếu của \(C\) lên \(AB\) nên \(CH \bot AB\), \[CH = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\] và \(HA = HB = \frac{a}{2}\).

Ta có: \(BB' \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow BB' \bot CH\) nên \(CH \bot \left( {ABB'A'} \right) \Rightarrow CH \bot B'H\).

Do đó, \(B'H\) là hình chiếu của \(B'C\) lên mặt phẳng \(\left( {ABB'A'} \right)\)

\[ \Rightarrow \widehat {\left[ {B'C,\left( {ABB'A'} \right)} \right]} = \widehat {\left( {B'C,BH} \right)} = \widehat {HB'C}\].

Trong \[\Delta BB'H\] vuông tại \[B\]: \[B'H = \sqrt {B{{B'}^2} + H{B^2}} = \sqrt {{{\left( {\frac{{a\sqrt 2 }}{2}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{a}{2}} \right)}^2}} = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\].

Mặt khác, \[B'H = CH = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\] nên \[\Delta B'CH\] vuông cân tại \[H\] nên \[\widehat {HB'C} = 45^\circ \].