Cho hình lăng trụ đứng A B C . A ′ B ′ C ′ có đáy A B C là tam giác đều có cạnh bằng 1 và cạnh bên A A ′ = √ 2 . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng A ′ B và B ′ C (kết q

17/22

Cho hình lăng trụ đứng $ABC.A'B'C'$ có đáy $ABC$ là tam giác đều có cạnh bằng 1 và cạnh bên $AA' = \sqrt 2 $. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng $A'B$ và $B'C$ (kết quả cuối cùng được làm tròn đến hàng phần trăm).

Giải thích

$Cho hình lăng trụ đứng $ABC.A'B'C'$ có đáy $ABC$ là tam giác đều có cạnh bằng 1 và cạnh bên $AA' = \sqrt 2 $ (ảnh 1)$

Chọn hệ trục tọa độ $Oxyz$ như hình vẽ.

Ta tìm được $A'\left( {0;0;\sqrt 2 } \right)$, $C\left( {1;0;0} \right)$.

${x_B} = AH = \frac{1}{2}AC = \frac{1}{2}$.

${y_B} = BH = \frac{{AC\sqrt 3 }}{2} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}$.

Suy ra $B\left( {\frac{1}{2};\frac{{\sqrt 3 }}{2};0} \right)$.

Do đó $B'\left( {\frac{1}{2};\frac{{\sqrt 3 }}{2};1} \right)$ (Do $B$ là hình chiếu của $B'$ lên $\left( {Oxy} \right)$).

$A'B$ đi qua điểm $B\left( {\frac{1}{2};\frac{{\sqrt 3 }}{2};0} \right)$ và có 1 vectơ chỉ phương là $\overrightarrow {A'B} = \left( {\frac{1}{2};\frac{{\sqrt 3 }}{2}; - \sqrt 2 } \right)$.

$B'C$ đi qua điểm $C\left( {1;0;0} \right)$ và có 1 vectơ chỉ phương là $\overrightarrow {B'C} = \left( {\frac{1}{2}; - \frac{{\sqrt 3 }}{2}; - 1} \right)$.

$d\left( {A'B,B'C} \right) = \frac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {A'B} ,\overrightarrow {B'C} } \right] \cdot \overrightarrow {BC} } \right|}}{{\left| {\left[ {\overrightarrow {A'B} ,\overrightarrow {B'C} } \right]} \right|}} \approx 0,92$.