Cho hình lăng trụ đều \(ABC.A'B'C'\)có độ dài tất cả các cạnh bằng \(a.\) Gọi \(M\)

Giải chi tiết:

Lấy \(H\) là trung điểm của \(AC\) và \(V\) là thể tích của khối đa diện cần tìm.

Khi đó, \(V = {V_{AMH.A'B'C'}} - {V_{M.NHC'}}\)

Dễ thấy \(MH\parallel B'C'\) nên \(AMH.A'B'C'\) là khối chóp cụt. Ta có:

\({V_{AMH.A'B'C'}} = \frac{1}{3} \cdot AA' \cdot \left( {{S_{AMH}} + \sqrt {{S_{AMH}} \cdot {S_{A'B'C'}}} + {S_{A'B'C'}}} \right)\)\( = \frac{1}{3} \cdot a \cdot \left( {\frac{1}{4} \cdot \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4} + \sqrt {\frac{1}{4} \cdot \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4} \cdot \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}} + \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}} \right) = \frac{{7\sqrt 3 }}{{48}}{a^3}\)

Lại có \({V_{M.NHC'}} = \frac{1}{3} \cdot d(M,(ACC'A')) \cdot {S_{NHC'}} = \frac{1}{3} \cdot \frac{{a\sqrt 3 }}{4} \cdot \frac{1}{2} \cdot a \cdot \frac{a}{6} = \frac{{\sqrt 3 }}{{144}}{a^3}\)

Vậy \(V = \frac{{5\sqrt 3 }}{{36}}{a^3}\)

Đáp án cần chọn là: A