Cho hình lăng trụ đều ABC.A'B'C' có cạnh đáy bằng a . Đường thẳng AB ′ tạo với mặt phẳng ( BCC'B ′ ) một góc 30 ∘ .

14/50

Cho hình lăng trụ đều \(ABC.A'B'C'\) có cạnh đáy bằng \(a\). Đường thẳng \(AB'\) tạo với mặt phẳng \(\left( {BCC'B'} \right)\) một góc \(30^\circ \). Biết thể tích khối lăng trụ đã cho là \(\frac{{{a^3}\sqrt 6 }}{k}\), tính giá trị của biểu thức \(T = {k^2}\) (nhập đáp án vào ô trống).

___

Click vào chỗ trống để nhập đáp án. Nhấn Enter để xác nhận, Esc để hủy.

Giải thích

Gọi \(H\) là hình chiếu của \(A\) trên \(BC\).

Khi đó \(AH = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\) và \(AH \bot \left( {BCC'B'} \right)\) nên góc giữa \(AB'\) và \(\left( {BCC'B} \right)\) là \(\widehat {AB'H} = 30^\circ \).

\({\rm{\Delta }}AHB'\) vuông tại \(H\) có \(B'H = \frac{{AH}}{{{\rm{tan}}\widehat {AB'H}}} = \frac{{\frac{{a\sqrt 3 }}{2}}}{{{\rm{tan}}30^\circ }} = \frac{{3a}}{2}\).

Do đó \(BB' = \sqrt {B'{H^2} - B{H^2}} = \sqrt {{{\left( {\frac{{3a}}{2}} \right)}^2} - {{\left( {\frac{a}{2}} \right)}^2}} = a\sqrt 2 \).

Thể tích của khối lăng trụ \(ABC.A'B'C'\) là:

\(V = S \cdot h = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4} \cdot \sqrt 2 a = \frac{{{a^3}\sqrt 6 }}{4}\).

Do đó \(k = 4 \Rightarrow T = {4^2} = 16\).

Đáp án cần nhập là: \(16\).