Cho hình lăng trụ đều ABC.A'B'C'. Biết AA ′ = 6 , góc giữa đường thẳng A ′B và mặt phẳng ( ABC ) bằng 60 ∘ . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AA ′ và BC .

Đáp án: 3.

Ta có: \(A'A \bot \left( {ABC} \right)\) nên  \(AB\) là hình chiếu vuông góc của \(A'B\) trên mp\(\left( {ABC} \right)\)

\[ \Rightarrow \left( {A'B,\left( {ABC} \right)} \right) = \left( {A'B,AB} \right) = \widehat {A'BA} = 60^\circ \].

Trong \(\Delta AA'B\) vuông tại \(A\) có: \(AB = AA'.\cot \widehat {AA'B} = 6.\cot 60^\circ  = 2\sqrt 3 \).

Gọi \(M\) là trung điểm \(BC\) thì \(AM \bot BC\). Mặt khác, \(AA' \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow AA' \bot AM\).

Do đó, \(d\left( {AA',BC} \right) = AM = \frac{{AB\sqrt 3 }}{2} = \frac{{2\sqrt 3 .\sqrt 3 }}{2} = 3\).