Cho hình lăng trụ đều ABC. A'B'C' có cạnh đáy bằng a. Đường thẳng AB' tạo với mặt phẳng 

Đáp án đúng là "16"

Phương pháp giải

Thể tích khối lăng trụ: \(V = h.S\), trong đó \(h\) là chiều cao lăng trụ, \(S\) là diện tích đáy của lăng trụ.

Lời giải

Gọi \(H\) là hình chiếu của \(A\) trên \(BC\). Khi đó \(AH = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\) và \(AH \bot \left( {BCC'B'} \right)\) nên góc giữa \(AB'\) và ( \(BCC'B\)) là \(\widehat {AB'H} = {30^ \circ }\).

\({\rm{\Delta }}AHB'\) vuông tại \(H\) có \(B'H = \frac{{AH}}{{{\rm{tan}}\widehat {AB'H}}} = \frac{{\frac{{a\sqrt 3 }}{2}}}{{{\rm{tan}}{{30}^ \circ }}} = \frac{{3a}}{2}\).

Do đó \(BB' = \sqrt {B'{H^2} - B{H^2}} = \sqrt {{{\left( {\frac{{3a}}{2}} \right)}^2} - {{\left( {\frac{a}{2}} \right)}^2}} = a\sqrt 2 \).

Thể tích của khối lăng trụ \(ABC.A'B'C'\) là:

\(V = S.h = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}.\sqrt 2 a = \frac{{{a^3}\sqrt 6 }}{4}\).

Do đó \(k = 4 \Rightarrow T = {4^2} = 16\).