Cho hình lăng trụ ABCD.A'B'C'D' có đáy là hình thoi cạnh 3a, góc ABC = 60 độ, AA' = 2a. Đỉnh A' cách đều ba đỉnh A,B,C. Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC

Hướng dẫn giải

a) Đ, b) S, c) Đ, d) Đ

a) Do \(A'B = A'C = A'A\) nên hình chiếu của \(A'\) lên mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABC\).

Do tam giác \(ABC\) là tam giác đều nên trọng tâm \(G\) cũng là tâm đường tròn ngoại tiếp.

Vậy \(A'G \bot \left( {ABCD} \right)\). Do đó \(A'G\) là đường cao của hình lăng trụ \(ABCD.A'B'C'D'\).

b) Ta có tam giác \(ABC\) có \(AB = BC\) và \(\widehat {ABC} = 60^\circ \) nên \(ABC\) là tam giác đều cạnh \(3a\), suy ra \(AG = a\sqrt 3 \).

Tam giác \(A'GA\) vuông tại \(G\) và \(AA' = 2a\) nên \(A'G = a\).

c) Ta có \({S_{ABCD}} = 2{S_{ABC}} = 2.\frac{{{{\left( {3a} \right)}^2}\sqrt 3 }}{4} = \frac{{9{a^2}\sqrt 3 }}{2}\).

d) Thể tích khối lăng trụ là  \(V = A'G.{S_{ABCD}} = \frac{{9{a^3}\sqrt 3 }}{2}\)