Cho hình lăng trụ ABCD.A’B’C’D’ có đáy ABCD là hình thoi, số đo góc ABC = 60°. Biết rằng C’A = C’B = C’C. Góc giữa mặt phẳng (BCC’B’) và mặt phẳng (ABC) bằng 45°. Khoảng cách giữa hai đường t

18/22

Cho hình lăng trụ \[ABCD.A'B'C'D'\] có đáy ABCD là hình thoi, số đo $\widehat {ABC} = 60^\circ $. Biết rằng $C'A = C'B = C'C$. Góc giữa mặt phẳng \[\left( {BCC'B'} \right)\] và mặt phẳng \[\left( {ABC} \right)\] bằng $45^\circ $. Khoảng cách giữa hai đường thẳng \[AA'\] và \[BC\] bằng $6\sqrt 3 $. Thể tích khối lăng trụ đã cho bằng $a\sqrt 2 $, giá trị của $a$ bằng bao nhiêu?

Nhập câu trả lời ở đây

Giải thích

$Theo đề bài $V = a\sqrt 2 $, ta suy ra $a = 864$. (ảnh 1)$

Đáp án: 864

Đáy ABCD là hình thoi có $\widehat {ABC} = 60^\circ \Rightarrow \Delta ABC$ là tam giác đều.

Gọi độ dài cạnh hình thoi là $x$.

Vì $C'A = C'B = C'C$ nên hình chiếu vuông góc của C' lên mặt đáy (ABC) phải cách đều 3 đỉnh A, B, C. Tâm đường tròn ngoại tiếp $\Delta ABC$ đều chính là trọng tâm G của tam giác đó.

Suy ra $C'G \bot (ABCD)$ và C'G chính là chiều cao $h$ của lăng trụ.

Gọi M là trung điểm của BC. Trong $\Delta ABC$ đều, $AM \bot BC$ và điểm G nằm trên AM. Do đó $GM \bot BC$.

Ta có $BC \bot C'G$ và $BC \bot GM \Rightarrow BC \bot (C'GM) \Rightarrow BC \bot C'M$.

Góc giữa hai mặt phẳng (BCC'B') và (ABC) chính là $\widehat {C'MG} = 45^\circ $.

Xét $\Delta C'GM$ vuông tại $G$, có $\widehat {C'MG} = 45^\circ $ nên là tam giác vuông cân $ \Rightarrow h = C'G = GM$.

Ta có $AM = \frac{{x\sqrt 3 }}{2} \Rightarrow GM = \frac{1}{3}AM = \frac{{x\sqrt 3 }}{6}$. Vậy $h = \frac{{x\sqrt 3 }}{6}$.

Vì $AA'\parallel CC'$ nên $AA'\parallel (BCC'B')$. Do đó, khoảng cách $d(AA',BC) = d(A,(BCC'B')) = 6\sqrt 3 $.

Trong mặt phẳng $(C'AM)$, kẻ $AH \bot C'M$ tại $H$. Vì $BC \bot (C'AM)$ nên $BC \bot AH$. Suy ra $AH \bot (BCC'B')$. Khoảng cách chính là đoạn $AH = 6\sqrt 3 $.

Gọi $K$ là hình chiếu của $G$ lên C'M. Do A, G, M thẳng hàng và $AM = 3GM$ nên $d(A,(BCC'B')) = 3d(G,(BCC'B')) \Rightarrow AH = 3GK$.

Trong $\Delta C'GM$ vuông cân tại $G$: $GK = \frac{{C'G \cdot GM}}{{\sqrt {C'{G^2} + G{M^2}} }} = \frac{{GM}}{{\sqrt 2 }}$.

Ta có phương trình: $AH = 3 \cdot \frac{{GM}}{{\sqrt 2 }} = 6\sqrt 3 \Rightarrow GM = 2\sqrt 6 $.

Thay $GM = \frac{{x\sqrt 3 }}{6}$ vào, ta được: $\frac{{x\sqrt 3 }}{6} = 2\sqrt 6 \Rightarrow x = 12\sqrt 2 $.

Suy ra chiều cao $h = GM = 2\sqrt 6 $.

Diện tích đáy (hình thoi ABCD) bằng 2 lần diện tích $\Delta ABC$:

${S_{ABCD}} = 2 \cdot \frac{{{x^2}\sqrt 3 }}{4} = \frac{{{{(12\sqrt 2 )}^2}\sqrt 3 }}{2} = 144\sqrt 3 $.

Thể tích khối lăng trụ: $V = {S_{ABCD}} \cdot h = 144\sqrt 3 \cdot 2\sqrt 6 = 288\sqrt {18} = 864\sqrt 2 $.

Theo đề bài $V = a\sqrt 2 $, ta suy ra $a = 864$.