Cho hình lăng trụ ABCD.A’B’C’D’ có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB=1, AD=2, tam giác A’A B cân tại A’ và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Khoảng cách từ D đến (A’BC) bằng

18/22

Cho hình lăng trụ $ABCD.A\prime B\prime C\prime D\prime $ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật với $AB = 1$, $AD = 2$, tam giác $A\prime AB$ cân tại $A\prime $ và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng $(ABCD)$. Khoảng cách từ $D$ đến $(A\prime BC)$ bằng $\frac{3}{4}$. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng $A\prime B$ và $AC$ (kết quả làm tròn đến hàng phần mười).

Nhập câu trả lời ở đây

Giải thích

Đáp án: 0,7

Chọn hệ trục tọa độ $Oxyz$ như hình vẽ.

$Thay ${h^2} = \frac{9}{{28}}$ vào ta được: (ảnh 1)$

$H \equiv O(0;0;0)$, tia $HB$ trùng với tia $Ox$, tia $HA\prime $ trùng với tia $Oz$, và trục $Oy$ song song với $AD$.

$d\left( {D,\,\left( {A'BC} \right)} \right) = d\left( {AD,\,\left( {A'BC} \right)} \right) = d\left( {A,\,\left( {A'BC} \right)} \right) = 2d\left( {H,\,\left( {A'BC} \right)} \right)$.

Kẻ $HI \bot A'B$ suy ra $d\left( {H,\left( {A'BC} \right)} \right) = HI$.

Theo giả thiết: $d\left( {D,\,\left( {A'BC} \right)} \right) = \frac{3}{4}$ hay $2HI = \frac{3}{4} \Leftrightarrow $$HI = \frac{3}{8}$.

$\frac{1}{{A'{H^2}}} + \frac{1}{{H{B^2}}} = \frac{1}{{H{I^2}}} \Rightarrow H{A'^2} = \frac{9}{{28}} = {h^2}$.

Ta có: $A\left( { - \frac{1}{2};\,{\mkern 1mu} 0\,;{\mkern 1mu} \,0} \right)$; $B\left( {\frac{1}{2};{\mkern 1mu} \,0\,;{\mkern 1mu} \,0} \right)$; $C\left( {\frac{1}{2};{\mkern 1mu} \,2\,;{\mkern 1mu} \,0} \right)$;$D\left( { - \frac{1}{2};\,{\mkern 1mu} 2\,;{\mkern 1mu} \,0} \right)$; $A\prime \left( {0\,;\,{\mkern 1mu} 0\,;\,h} \right)$.

Đường thẳng $A\prime B$ đi qua $B$ có vectơ chỉ phương ${\vec u_1} = \overrightarrow {BA\prime } = \left( { - \frac{1}{2};\,{\mkern 1mu} 0\,;{\mkern 1mu} \,h} \right)$.

Đường thẳng $AC$ đi qua $A$ có vectơ chỉ phương ${\vec u_2} = \overrightarrow {AC} = \left( {1\,;\,{\mkern 1mu} 2\,;\,{\mkern 1mu} 0} \right)$.

Ta có: $\left[ {{{\vec u}_1},{{\vec u}_2}} \right] = \left( { - 2h\,;{\mkern 1mu} \,h\,;{\mkern 1mu} - 1} \right)$ và $\overrightarrow {AB} = \left( {1\,;\,{\mkern 1mu} 0\,;\,{\mkern 1mu} 0} \right)$.

Khoảng cách giữa $A\prime B$ và $AC$ là:

\[d\left( {A\prime B,AC} \right) = \frac{{\left| {\left[ {{{\vec u}_1},{{\vec u}_2}} \right] \cdot \overrightarrow {AB} } \right|}}{{\left| {\left[ {{{\vec u}_1},{{\vec u}_2}} \right]} \right|}} = \frac{{| - 2h|}}{{\sqrt {4{h^2} + {h^2} + 1} }} = \frac{{2h}}{{\sqrt {5{h^2} + 1} }}\]

Thay ${h^2} = \frac{9}{{28}}$ vào ta được:

$d = \sqrt {\frac{{4{h^2}}}{{5{h^2} + 1}}} = \sqrt {\frac{{4 \cdot \frac{9}{{28}}}}{{5 \cdot \frac{9}{{28}} + 1}}} = \sqrt {\frac{{\frac{9}{7}}}{{\frac{{45 + 28}}{{28}}}}} = \sqrt {\frac{9}{{73}}} = \frac{3}{{\sqrt {73} }} \approx 0,7$.