Cho hình lăng trụ ABC.A'B'C' với G là trọng tâm của tam giác A'B'C'. Đặt vectơ AA' = vectơ a, vectơ AB = vectơ b, vectơ AC = vectơ c.
Hướng dẫn giải:
Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Sai. d) Sai.
a) Đúng.Gọi M là trung điểm của B'C'.
Ta có \(\overrightarrow {AG} = \overrightarrow {AA'} + \overrightarrow {A'G} \)\( = \overrightarrow {AA'} + \frac{2}{3}\overrightarrow {A'M} \)\( = \overrightarrow {AA'} + \frac{1}{3}\left( {\overrightarrow {A'B'} + \overrightarrow {A'C'} } \right)\)
\( = \overrightarrow {AA'} + \frac{1}{3}\left( {\overrightarrow {AB'} - \overrightarrow {AA'} + \overrightarrow {AC'} - \overrightarrow {AA'} } \right)\)\( = \frac{1}{3}\left( {\overrightarrow {AA'} + \overrightarrow {AB'} + \overrightarrow {AC'} } \right)\).
b) Sai. \(\overrightarrow {AG} = \frac{1}{3}\left( {\overrightarrow {AA'} + \overrightarrow {AB'} + \overrightarrow {AC'} } \right)\)\( = \frac{1}{3}\left( {\overrightarrow {AA'} + \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BB'} + \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {CC'} } \right)\)
\[ = \overrightarrow {AA'} + \frac{1}{3}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right)\]\[ = \overrightarrow a + \frac{1}{3}\left( {\overrightarrow b + \overrightarrow c } \right)\].
c) Sai. Tương tự: \(\overrightarrow {CG} = \overrightarrow {CC'} + \overrightarrow {C'G} \)\( = \overrightarrow {CC'} + \frac{1}{3}\left( {\overrightarrow {C'A'} + \overrightarrow {C'B'} } \right)\)\( = \overrightarrow {CC'} + \frac{1}{3}\left( { - \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {CB} } \right)\)
\( = \overrightarrow {AA'} + \frac{1}{3}\left( { - \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AC} } \right)\)\( = \overrightarrow a + \frac{1}{3}\left( {\overrightarrow b - 2\overrightarrow c } \right)\).
d) Sai. \[\overrightarrow {BG} = \overrightarrow {AG} - \overrightarrow {AB} \]\( = \overrightarrow a + \frac{1}{3}\left( {\overrightarrow b + \overrightarrow c } \right) - \overrightarrow b = \overrightarrow a - \frac{2}{3}\overrightarrow b + \frac{1}{3}\overrightarrow c \).