Cho hình lăng trụ ABC.A'B'C' có tất cả các cạnh bằng a , ˆ A ′AB = 120 o , ˆ A ′AC = 60 o . Gọi M là trung điểm của BC ; N là điểm thỏa mãn −−→ BN = 2/3 −−→ BB ′ .
15/22
Cho hình lăng trụ \(ABC.A'B'C'\) có tất cả các cạnh bằng \(a\), \(\widehat {A'AB} = {120^{\rm{o}}},\,\widehat {A'AC} = {60^{\rm{o}}}\). Gọi \(M\) là trung điểm của \(BC\); \(N\) là điểm thỏa mãn \(\overrightarrow {BN} = \frac{2}{3}\overrightarrow {BB'} \).
[NB] Giả sử \(\overrightarrow {A'M} = x.\overrightarrow {AB} + y.\overrightarrow {AC} + z.\overrightarrow {AA'} \) thì \(x + y = z\).
[TH] \(\overrightarrow {NB} = - 2\overrightarrow {NB'} \).
[TH] \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CC'} = \overrightarrow {AB'} \).
[VD,VDC] \(\overrightarrow {A'M} .\overrightarrow {C'N} = \frac{{4{a^2}}}{3}\).
a) Sai.
Ta có: \(\overrightarrow {A'M} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {A'B} + \overrightarrow {A'C} } \right)\)\( = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {A'A} + \overrightarrow {A'B'} + \overrightarrow {A'A} + \overrightarrow {A'C'} } \right) = \overrightarrow {A'A} + \frac{1}{2}\overrightarrow {A'B'} + \frac{1}{2}\overrightarrow {A'C'} \)\( = \frac{1}{2}.\overrightarrow {AB} + \frac{1}{2}.\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AA'} \). Suy ra \(x = y = \frac{1}{2};z = - 1 \Rightarrow x + y = - z\).
b) Đúng.
Ta có: \(\overrightarrow {BN} = \frac{2}{3}\overrightarrow {BB'} \Leftrightarrow \overrightarrow {BN} = \frac{2}{3}\left( {\overrightarrow {BN} + \overrightarrow {NB'} } \right) \Leftrightarrow \overrightarrow {BN} = 2\overrightarrow {NB'} \Leftrightarrow \overrightarrow {NB} = - 2\overrightarrow {NB'} \).
c) Đúng.
Ta có: \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CC'} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BB'} = \overrightarrow {AB'} \).
d) Đúng.
Ta có:\(\overrightarrow {C'N} = \overrightarrow {C'B'} + \overrightarrow {B'N} = \overrightarrow {A'B'} - \overrightarrow {A'C'} + \frac{1}{3}\overrightarrow {B'B} = \overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AC} - \frac{1}{3}\overrightarrow {AA'} \)\( \Rightarrow \overrightarrow {A'M} .\overrightarrow {C'N} = \left( {\frac{1}{2}.\overrightarrow {AB} + \frac{1}{2}.\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AA'} } \right).\left( {\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AC} - \frac{1}{3}\overrightarrow {AA'} } \right)\)\( = \frac{1}{2}A{B^2} - \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} - \frac{1}{6}\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AA'} + \frac{1}{2}\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AB} - \frac{1}{2}A{C^2} - \frac{1}{6}\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AA'} - \overrightarrow {AA'} .\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AA'} .\overrightarrow {AC} + \frac{1}{3}A{A'^2}\)
\( = \frac{1}{2}A{B^2} - \frac{1}{2}A{C^2} + \frac{1}{3}A{A'^2} - \frac{7}{6}\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AA'} + \frac{5}{6}\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AA'} \)
\( = = \frac{1}{2}{a^2} - \frac{1}{2}{a^2} + \frac{1}{3}{a^2} - \frac{7}{6}\left| {\overrightarrow {AB} } \right|.\left| {\overrightarrow {AA'} } \right|.\cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AA'} } \right) + \frac{5}{6}\left| {\overrightarrow {AC} } \right|.\left| {\overrightarrow {AA'} } \right|.\cos \left( {\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {AA'} } \right)\)
\( = \frac{1}{3}{a^2} - \frac{7}{6}{a^2}.\cos \widehat {A'AB} + \frac{5}{6}{a^2}.\cos \widehat {A'AC} = \frac{1}{3}{a^2} - \frac{7}{6}{a^2}.\cos 120^\circ + \frac{5}{6}{a^2}.\cos 60^\circ \)
\( = \frac{4}{3}{a^2}\).