Cho hình lăng trụ ABC.A′B′C′ có tam giác ABC vuông cân tại A, hình chiếu vuông góc của A′ trên mặt phẳng (ABC) trùng với trọng tâm H của tam giác ABC. Biết AA′ = BC = a căn bậc hai của 2. Nhữ

28/40

Cho hình lăng trụ $ABC.A'B'C'$ có tam giác $ABC$ vuông cân tại $A,$ hình chiếu vuông góc của $A'$ trên mặt phẳng $\left( {ABC} \right)$ trùng với trọng tâm H của tam giác $ABC.$ Biết $AA' = BC = a\sqrt 2 .$ Những phương án nào dưới đây đúng?

Chọn tất cả các đáp án đúng (MSQ)

1. Độ dài đường cao hình lăng trụ bằng $\frac{{4a}}{3}.$

2. Thể tích khối lăng trụ đã cho bằng $\frac{{2{a^3}}}{9}.$

3. Khoảng cách giữa hai đường thẳng $BB'$ và $AC$ gấp ba lần khoảng cách từ $H$ đến mặt phẳng $\left( {ACC'A'} \right).$

4. Khoảng cách giữa hai đường thẳng $BB'$ và $AC$ bằng $\frac{{4a\sqrt {17} }}{{51}}.$

Giải thích

$1. Đúng. Ta có: \(AM = \frac{1}{2} (ảnh 1)$

1. Đúng. Ta có: $AM = \frac{1}{2}BC = \frac{{a\sqrt 2 }}{2} \Rightarrow AH = \frac{2}{3}AM = \frac{{a\sqrt 2 }}{3} \Rightarrow A'H = \sqrt {A{{A'}^2} - A{H^2}} = \frac{{4a}}{3}.$

2. Sai. $AB = AC = a \Rightarrow {S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{2}A{B^2} = \frac{{{a^2}}}{2} \Rightarrow {V_{ABC.A'B'C'}} = \frac{{2{a^3}}}{3}.$

3. Đúng. Do $BB'//\left( {ACC'A'} \right)$ nên $d\left( {BB',\,AC} \right) = d\left( {BB',\,\left( {ACC'A'} \right)} \right) = d\left( {B,\,\left( {ACC'A'} \right)} \right).$

Ta có $\frac{{d\left( {B,\left( {ACC'A'} \right)} \right)}}{{d\left( {H,\left( {ACC'A'} \right)} \right)}} = \frac{{BN}}{{HN}} = 3.$ Suy ra $d\left( {BB',\,AC} \right) = 3d\left( {H,\,\left( {ACC'A'} \right)} \right).$

4. Sai. Kẻ $HK \bot AC$ và $HI \bot A'K.$ Khi đó $HI \bot \left( {ACC'A'} \right) \Rightarrow d\left( {H,\left( {ACC'A'} \right)} \right) = HI.$

Ta có $HK//AB \Rightarrow \frac{{HK}}{{AB}} = \frac{{NH}}{{NB}} = \frac{1}{3} \Rightarrow HK = \frac{1}{3}AB = \frac{a}{3}.$

$d\left( {BB',\,AC} \right) = 3d\left( {H,\left( {ACC'A'} \right)} \right) = 3HI = 3 \cdot \frac{{A'H \cdot HK}}{{\sqrt {A'{H^2} + H{K^2}} }} = 3 \cdot \frac{{\frac{{4a}}{3} \cdot \frac{a}{3}}}{{\sqrt {\frac{{16{a^2}}}{9} + \frac{{{a^2}}}{9}} }} = \frac{{4a}}{{\sqrt {17} }}.$ Chọn 1, 3.