Cho hình lăng trụ ABC.A'B'C' có đáy là tam giác đều cạnh a. Biết hình chiếu vuông góc của điểm A' trên mặt phẳng (ABC) là trung điểm cạnh AB và góc giữa A'C và mặt đáy bằng 60 độ.

23/35

Cho hình lăng trụ \(ABC.A'B'C'\) có đáy là tam giác đều cạnh \(a.\) Biết hình chiếu vuông góc của điểm \(A'\) trên mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) là trung điểm cạnh \(AB\) và góc giữa \(A'C\) và mặt đáy bằng \(60^\circ \). Khoảng cách \(d\) giữa hai đường thẳng \(AB\) và \(A'C\) là

\[d = \frac{{\sqrt 3 a}}{2}\].

\[d = \frac{{3a}}{2}\].

\[d = \frac{{3a}}{4}\].

\[d = \frac{a}{2}\].

Giải thích

Lời giải

Cho hình lăng trụ ABC.A'B'C' có đáy là tam giác đều cạnh a. Biết hình chiếu vuông góc của điểm A' trên mặt phẳng (ABC) là trung điểm cạnh AB và góc giữa A'C và mặt đáy bằng 60 độ. (ảnh 1)

Gọi \(H\) là trung điểm cạnh \(AB\), ta có \(A'H \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow \left( {A'C,\left( {ABC} \right)} \right) = \widehat {A'CH}\).

Xét tam giác \(A'HC\) vuông tại \(H\): \(tan\widehat {A'CH} = \frac{{A'H}}{{HC}} \Leftrightarrow A'H = HC\tan \widehat {A'CH} = \frac{{3a}}{2}\).

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}AB \bot HC\\AB \bot A'H\end{array} \right. \Rightarrow AB \bot \left( {A'HC} \right)\).

Dựng \(HK \bot AC'\left( {K \in A'C} \right) \Rightarrow HK = d\left( {AB,A'C} \right)\).

Xét tam giác \(A'HC\) vuông tại \(H\): \(\frac{1}{{H{K^2}}} = \frac{1}{{A'{H^2}}} + \frac{1}{{H{C^2}}} = \frac{1}{{{{\left( {\frac{{3a}}{2}} \right)}^2}}} + \frac{1}{{{{\left( {\frac{{a\sqrt 3 }}{2}} \right)}^2}}} = \frac{{16}}{{9{a^2}}} \Rightarrow HK = \frac{{3a}}{4}.\) Chọn C.

Nhận xét: Học sinh có thể xét tam giác \(HKC\) vuông tại \(H:\sin \widehat {KCH} = \frac{{HK}}{{HC}} \Rightarrow HK = HC \cdot \sin \widehat {KCH} = \frac{{3a}}{4}\).