Cho hình lăng trụ ABC.A'B'C' có đáy là tam giác đều cạnh 4a, hình chiếu của A' trên đáy trùng với trọng tâm G của tam giác ABC, góc giữa cạnh bên và đáy bằng 30^0. Tính thể tích khối lăng trụ

Lời giải

Gọi \(E\) là trung điểm của \(BC\).Ta có+) \(CE = \frac{1}{2}BC = 2a\), \(AE = \sqrt {A{C^2} - B{C^2}} = \sqrt {16{a^2} - 4{a^2}} = 2a\sqrt 3 \)+) \({S_{ABC}} = \frac{1}{2}AE.BC = 4{a^2}\sqrt 3 \)+) \(AG = \frac{2}{3}AE = \frac{{4a\sqrt 3 }}{3}\)Vì \(A'G \bot (ABC)\)nên \(AG\) là hình chiếu vuông góc của \[A'A\] trên đáy,do đó góc giữa \(AA'\) và đáy là góc .+) \(A'G = AG.\tan {60^0} = 4a\)+) \({V_{ABC.A'B'C'}} = {S_{ABC}}.A'G = 16{a^3}\sqrt 3 \)