Cho hình lăng trụ ABC.A'B'C' có đáy là tam giác đều cạnh 2. Hình chiếu vuông góc của điểm A' lên mặt phẳng (ABC) trùng với trọng tâm tam giác ABC. Biết khoảng cách giữa hai đường thẳng AA' và

91/100

Cho hình lăng trụ \[ABC.A'B'C'\] có đáy là tam giác đều cạnh $2$. Hình chiếu vuông góc của điểm $A'$ lên mặt phẳng $(ABC)$ trùng với trọng tâm tam giác \[ABC.\] Biết khoảng cách giữa hai đường thẳng \[AA'\] và \[BC\] bằng $\frac{{\sqrt 3 }}{2}$, thể tích $V$ của khối lăng trụ đã cho bằng

$V = \frac{{2\sqrt 3 }}{3}$.

$V = \frac{{4\sqrt 3 }}{3}$.

$V = \frac{{8\sqrt 3 }}{3}$.

$V = \frac{{16\sqrt 3 }}{3}$.

Giải thích

$Giải chi tiết: 1. Xác suất của biến cố ${E_1}$ bằ (ảnh 1)$

Giải chi tiết:

Gọi $G$ là trọng tâm của tam giác $ABC,$ khi đó $A'G \bot (ABC) \Rightarrow A'G \bot BC\left( 1 \right)$

Gọi $M$ là trung điểm của $BC$ suy ra $AM \bot BC\left( 2 \right)$

Từ $\left( 1 \right)$ và $\left( 2 \right):$ $BC \bot (A'AM)$.

Trong mặt phẳng $(A'AM)$ dựng $MN \bot A'A\;(N \in A'A)$, khi đó $MN$ là đoạn vuông góc chung của \[AA'\] và \[BC\]

Suy ra: $d(A'A;BC) = MN = \frac{{\sqrt 3 }}{2}$.

Ta có: $AM = \sqrt 3 ,AG = \frac{{2\sqrt 3 }}{3},AN = \frac{3}{2}$.

Hai tam giác vuông \[AGA'\] và \[ANM\] đồng dạng nên

$\frac{{A'G}}{{MN}} = \frac{{AG}}{{AN}} \Rightarrow A'G = \frac{{AG}}{{AN}} \cdot MN = \frac{2}{3}$

Chiều cao của lăng trụ là $h = A'G = \frac{2}{3}$, diện tích tam giác \[ABC\] là

$S = \frac{{\sqrt 3 }}{4} \cdot {2^2} = \sqrt 3 $.

Vậy thể tích của lăng trụ đã cho là $V = S \cdot h = \sqrt 3 \cdot \frac{2}{3} = \frac{{2\sqrt 3 }}{3}$.

Đáp án cần chọn là: A