Cho hình lăng trụ ABC.A'B'C' có đáy là tam giác đều cạnh 2. Hình chiếu vuông góc của A' lên mặt phẳng (ABC)

Đáp án: 1,15.

Gọi \(M\) là trung điểm của \(BC\), ta có \(\left\{ \begin{array}{l}BC \bot AM\\BC \bot A'H\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot \left( {A'AM} \right) \Rightarrow BC \bot AA'\)

Kẻ \(MK\) vuông góc với \(AA'\) với \(K \in AA'\), khi đó \(MK \bot BC\), do đó \(MK = d\left( {BC,\,\,AA'} \right) = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\).

\(\Delta ABC\) đều cạnh \(2\) nên \(AM = \sqrt 3 \).

Gọi \(H\) là trọng tâm tam giác \(ABC\) nên \(AH = \frac{2}{3}AM = \frac{{2\sqrt 3 }}{3}\).

Ta có \(AK = \sqrt {A{M^2} - K{M^2}} = \frac{3}{2}\)

\(\Delta AHA'\) suy ra \(\frac{{AK}}{{AH}} = \frac{{MK}}{{A'H}} \Rightarrow A'H = \frac{{AH.MK}}{{AK}} = \frac{2}{3}\).

Thể tích lăng trụ \(ABC.A'B'C'\) là \(V = A'H.{S_{\Delta ABC}} = \frac{2}{3}.\frac{{4\sqrt 3 }}{4} = \frac{{2\sqrt 3 }}{3} \approx 1,15\).