Cho hình lăng trụ ABC.A'B'C' có đáy là tam giác đều.

Đáp án đúng là C

Phương pháp giải

Từ các dữ kiện đề bài lập các phương trình thể hiện mối quan hệ giữa các độ dài.

Lời giải

Gọi \(AB = AC = BC = x,A'G = h(x,h > 0)\).

Gọi \(M\) là trung điểm cạnh \(AB \Rightarrow GM \bot AB\)

Mà \(A'G \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow A'G \bot AB\)

\( \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{A'M \bot AB}\\{GM \bot AB}\end{array} \Rightarrow \widehat {\left( {ABB'\left. {A'} \right)} \right.;\left( {ABC} \right)} = \left( {\widehat {A'M;GM}} \right)} \right.\)

\( = \widehat {A'MG} = {60^ \circ }\)

Khi đó, ta có \(h = A'G = MG\sqrt 3 = MC\frac{{\sqrt 3 }}{3} = BC.\frac{{\sqrt 3 }}{2}.\frac{{\sqrt 3 }}{3} = \frac{{BC}}{2} = \frac{x}{2}\) (1)

Mặt khác, ta chỉ ra được \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{AA' \bot BC}\\{AA'//BB'}\end{array} \Rightarrow BB' \bot BC \Rightarrow BCC'B'} \right.\) là hình chữ nhật

\( \Rightarrow {S_{BCC'B'}} = BB'.BC = AA'.BC = \sqrt {A{G^2} + A'{G^2}} .BC = \sqrt {\frac{{{x^2}}}{3} + {h^2}} .x = \frac{{{a^2}\sqrt {21} }}{2}\) (2)

Từ \(\left( 1 \right),\left( 2 \right)\) ta có:\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{h = \frac{x}{2}}\\{\sqrt {\frac{{{x^2}}}{3} + \frac{{{x^2}}}{4}} .x = \frac{{{a^2}\sqrt {21} }}{2}}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{h = \frac{x}{2}}\\{\frac{{{x^2}\sqrt {21} }}{6} = \frac{{{a^2}\sqrt {21} }}{2}}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{h = \frac{x}{2} = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}}\\{x = a\sqrt 3 }\end{array}} \right.} \right.} \right.\)

Khi đó, thể tích của khối lăng trụ là:

\(V = {S_{ABC}}.A'G = \frac{{{x^2}\sqrt 3 }}{4}.h = \frac{{{{(a\sqrt 3 )}^2}\sqrt 3 }}{4}.\frac{{a\sqrt 3 }}{2} = \frac{{9{a^3}}}{8}\)