Cho hình lăng trụ ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông tại A, cạnh BC=2a và góc ABC=60 độ. Biết tứ giác BCC'B' là hình thoi có góc B'BC là góc nhọn, mặt phẳng (BCC'B') vuông góc với (ABC),

80/100

Cho hình lăng trụ \[ABC.A'B'C'\] có đáy \[ABC\] là tam giác vuông tại $A$, cạnh $BC = 2a$ và $\hat{A B C} = 60^{°}$ . Biết tứ giác \[BCC'B'\] là hình thoi có $\widehat {B'BC}$ là góc nhọn, mặt phẳng $(BCC'B')$ vuông góc với $(ABC)$, góc giữa hai mặt phẳng $(ABB'A')$ và $(ABC)$ bằng $45^{°}$ . Thể tích khối lăng trụ \[ABC.A'B'C'\]bằng

$\frac{{3{a^3}}}{{\sqrt 7 }}$.

$\frac{{6{a^3}}}{{\sqrt 7 }}$.

$\frac{{{a^3}}}{{\sqrt 7 }}$.

$\frac{{{a^3}}}{{3\sqrt 7 }}.$

Giải thích

Giải chi tiết:

$Ta có $ABC$ là tam giác vuông tại $A$, (ảnh 1)$

Ta có $ABC$ là tam giác vuông tại $A$, cạnh $BC = 2a$ và

$\hat{A B C} = 60^{°} \Rightarrow \{\begin{cases} A C = a \sqrt{3} \\ A B = a \end{cases}$

Kẻ $B'H \bot BC$ tại $H$. Vì góc \[B'BC\] nhọn nên $H$ thuộc đoạn thẳng \[BC.\]

Khi đó, ta có $B'H \bot (ABC)$.

Kẻ $HE \bot AB$.

$ \Rightarrow AB \bot (HEB') \Rightarrow AB \bot EB'$

$\Rightarrow ((A B C), (A B B^{'} A^{'})) = (H E, E B^{'}) = \hat{H E B^{'}} = 45^{°}$

Suy ra tam giác \[HEB'\] vuông cân tại $H$ nên $HE = HB' = x$.

Do $HE//AC$ nên $\frac{{BH}}{{BC}} = \frac{{EH}}{{AC}} \Leftrightarrow BH = BC\frac{{EH}}{{AC}} = 2a \cdot \frac{x}{{a\sqrt 3 }} = \frac{{2x}}{{\sqrt 3 }}$.

Ta có: $B{B'^2} = B{H^2} + H{B'^2}$

$ \Leftrightarrow 4{a^2} = \frac{{4{x^2}}}{3} + {x^2} \Leftrightarrow 4{a^2} = \frac{{7{x^2}}}{3}$

$ \Leftrightarrow {x^2} = \frac{{12{a^2}}}{7} \Leftrightarrow x = \frac{{2\sqrt 3 a}}{{\sqrt 7 }}$

Vậy, ${V_{ABC.A'B'C'}} = \frac{1}{2}AC \cdot AB \cdot B'H = \frac{1}{2}a\sqrt 3 \cdot a \cdot \frac{{2\sqrt 3 a}}{{\sqrt 7 }} = \frac{{3{a^3}}}{{\sqrt 7 }}$.

Đáp án cần chọn là: A