Cho hình lăng trụ ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng 2, hình chiếu của A' trên (ABC) trùng với trung điểm M của AB, góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng 60°. Gọi N là trung điểm của

21/22

Cho hình lăng trụ $ABC.A'B'C'$ có đáy $ABC$ là tam giác đều cạnh bằng $2$, hình chiếu của $A'$ trên $\left( {ABC} \right)$ trùng với trung điểm $M$ của $AB$, góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng $60^\circ $. Gọi $N$ là trung điểm của $CC'$. Tính khoảng cách từ điểm $B'$ tới mặt phẳng $\left( {A'MN} \right)$ (không làm tròn các bước trung gian, chỉ làm tròn kết quả cuối cùng tới hàng phần trăm)

Nhập câu trả lời ở đây

Giải thích

Đáp án: $1,92$

$Phương trình tham số của đường thẳng $AC$:\(\left (ảnh 1)$

Gọi $I = AB' \cap A'M$ và $D = A'N \cap AC$.

Ta có $\frac{{IA}}{{IB'}} = \frac{1}{2}$ nên suy ra ${\rm{d}}\left( {B',\left( {AMN} \right)} \right) = 2{\rm{d}}\left( {A,\left( {A'MN} \right)} \right)$.

Mặt khác, theo giả thiết

$\left. {\begin{array}{*{20}{c}}{A'M \bot \left( {ABC} \right)}\\{A'M \subset \left( {A'MD} \right)}\end{array}} \right\} \Rightarrow \left( {A'MD} \right) \bot \left( {ABC} \right) = MD$.

Kẻ $AE \bot MD$.

Suy ra $AE = {\rm{d}}\left( {A,\left( {A'MD} \right)} \right)$.

Xét tam giác $A'AD$, có $\frac{{CD}}{{AD}} = \frac{{CM}}{{AA'}} = \frac{1}{2} \Rightarrow CD = \frac{1}{2}AD$

Do đó $AC = CD = 2$.

Mặt khác $M{D^2} = A{M^2} + A{D^2} - 2AM \cdot AD \cdot \cos \widehat {MAD} = 13$$ \Rightarrow MD = \sqrt {13} $.

$ \Rightarrow {S_{\Delta A'MD}} = \frac{1}{2} \cdot AM \cdot AD \cdot \sin \widehat {MAD} = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 4 \cdot \frac{{\sqrt 3 }}{2} = \sqrt 3 $

Suy ra ${\rm{d}}\left( {A,\left( {A'MD} \right)} \right) = AE = \frac{{2 \cdot {S_{\Delta AMD}}}}{{MD}} = \frac{{2\sqrt 3 }}{{\sqrt {13} }}$

$ \Rightarrow {\rm{d}}\left( {B',\left( {AMN} \right)} \right) = \frac{{4\sqrt 3 }}{{\sqrt {13} }} \approx 1,92$.