Cho hình lăng trụ $ABC.A'B'C'$ có đáy $ABC$ là tam giác đều cạnh $a$

22/22

Cho hình lăng trụ $ABC.A'B'C'$ có đáy $ABC$ là tam giác đều cạnh $a$, $A'A = A'B = A'C = a\sqrt {\frac{7}{{12}}} $ (tham khảo hình vẽ dưới)

$Cho hình lăng trụ $ABC.A'B'C'$ có đáy $ABC$ là tam giác đều cạnh $a$ (ảnh 1)$ Khi đó số đo góc giữa hai mặt phẳng $\left( {ABB'A'} \right)$ và $\left( {ABC} \right)$ là

Giải thích

Gọi \[H\] là hình chiếu của \[A'\] trên mặt phẳng \[\left( {ABC} \right)\]

Do $A'A = A'B = A'C$ nên $HA = HB = HC$. Suy ra \[H\] là trọng tâm của tam giác đều \[ABC\]

Gọi \[M\]là trung điểm của \[AB\],do tam giác\[ABC\]đều nên \[MC \bot AB\] hay\[MH \bot AB\],

$Cho hình lăng trụ $ABC.A'B'C'$ có đáy $ABC$ là tam giác đều cạnh $a$ (ảnh 2)$

\[\left( {ABB'A'} \right) \cap \left( {ABC} \right) = AB\]

Trong mặt phẳng $\left( {ABC} \right)$ có $HM \bot AB$

Trong mặt phẳng $\left( {ABB'A'} \right)$ có $A'M \bot AB$ (do $AB \bot MH,AB \bot A'H$ nên $AB \bot \left( {A'MH} \right)$)

Khi đó góc giữa hai mặt phẳng $\left( {ABB'A'} \right)$ và $\left( {ABC} \right)$là $\widehat {A'MH}$. Ta có $\widehat {A'MH} = \alpha $

Xét tam giác $A'MH$ vuông tại $H$:

Có \[MH = \frac{1}{3}MC = \frac{1}{3}.\frac{{a\sqrt 3 }}{2} = \frac{{a\sqrt 3 }}{6}\] (do $MC = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}$ là đường trung tuyến trong tam giác đều cạnh $a$)

Có \[A'M = \sqrt {A'{A^2} - A{M^2}} = \sqrt {\frac{{7{a^2}}}{{12}} - \frac{{{a^2}}}{4}} = \frac{a}{{\sqrt 3 }}\]

\[\cos \alpha = \frac{{MH}}{{MA'}} = \frac{{\frac{{a\sqrt 3 }}{6}}}{{\frac{a}{{\sqrt 3 }}}} = \frac{1}{2} \Rightarrow \alpha = {60^0}\].

Vậy số đo góc giữa hai mặt phẳng$\left( {ABB'A'} \right)$ và $\left( {ABC} \right)$ là ${60^0}$.

Đề kiểm tra Hai mặt phẳng vuông góc (có lời giải) - Đề 2

Cho hình lăng trụ \(ABC.A'B'C'\) có đáy \(ABC\) là tam giác đều cạnh \(a\)