Cho hình lăng trụ ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác đều cạnh a

83/235

Cho hình lăng trụ \(ABC.A'B'C'\) có đáy \(ABC\) là tam giác đều cạnh \(a\), tam giác \(A'BC\) đều nằm trong mặt phẳng vuông góc với \((ABC)\)) \(M\) là trung điểm cạnh \(CC'\). Tính \({\rm{cos}}\alpha \), với \(\alpha \) là góc giữa hai đường thẳng \(AA'\) và \(BM\)

\({\rm{cos}}\alpha = \frac{{2\sqrt {22} }}{{11}}\).

\({\rm{cos}}\alpha = \frac{{\sqrt {33} }}{{11}}\).

\({\rm{cos}}\alpha = \frac{{\sqrt {11} }}{{11}}\).

\({\rm{cos}}\alpha = \frac{{\sqrt {22} }}{{11}}\)

Giải thích

Đáp án đúng là B

Phương pháp giải

Dùng công thức tích vô hướng giữa hai vecto

Lời giải

Cho hình lăng trụ ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác đều cạnh a (ảnh 1)

Ta có: \(AH = A'H = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\) và \(AH \bot BC,A'H \bot BC \Rightarrow BC \bot \left( {AA'H} \right) \Rightarrow BC \bot AA'\) hay \(BC \bot BB'\)

Do đó: \(BCC'B'\) là hình chữ nhật.

Khi đó: \(CC' = AA' = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}.\sqrt 2 = \frac{{a\sqrt 6 }}{2} \Rightarrow BM = \sqrt {{a^2} + \frac{{{a^2}.6}}{{16}}} = a\frac{{\sqrt {22} }}{4}\)

Xét: \(\overrightarrow {AA'} .\overrightarrow {BM} = \overrightarrow {AA'} .\left( {\overrightarrow {BC} + \overrightarrow {CM} } \right) = 0 + AA'.CM = \frac{{3{a^2}}}{4}\)

\( \Rightarrow {\rm{cos}}\left( {AA',BM} \right) = \frac{{\left| {\frac{{3{a^2}}}{4}} \right|}}{{\frac{{a\sqrt 6 }}{2}.\frac{{a\sqrt {22} }}{4}}} = \frac{{\sqrt {33} }}{{11}}\)