Cho hình lăng trụ ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác đều cạnh a

16/235

Cho hình lăng trụ \(ABC.A'B'C'\) có đáy \(ABC\) là tam giác đều cạnh \(a\). Hình chiếu vuông góc của \(A'\) trên mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) là trọng tâm của tam giác \(ABC\) và góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng \({60^ \circ }\). Thể tích khối lăng trụ đã cho là:

\(\frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{4}\).

\(\sqrt 3 {a^3}\).

\(\frac{{3\sqrt 3 {a^3}}}{4}\).

\(\frac{{{a^3}}}{4}\).

Giải thích

Đáp án đúng là A

Phương pháp giải

Thể tích khối lăng trụ: \(V = h.S\), trong đó \(h\) là chiều cao lăng trụ, \(S\) là diện tích đáy của lăng trụ.

Lời giải

Cho hình lăng trụ ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác đều cạnh a (ảnh 1)

Gọi \(O\) là trọng tâm tam giác \(ABC\).

Ta có \(AO = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}\) và \({S_{ABC}} = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}\).

Góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng \({60^ \circ }\) nên \(\widehat {A'AO} = {60^ \circ }\).

Do đó \(A'O = AO.\tan {60^ \circ } = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}.\sqrt 3 = a\).

Thể tích khối lăng trụ đã cho là:\(V = S.h = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}.a = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{4}\).