Cho hình lăng trụ ABC.A"B'C' có đáy ABC là tam giác đều cạnh a. AA'=3a/2

25/150

Cho hình lăng trụ \[ABC.{\rm{ }}A'B'C'\] có đáy \({\rm{ABC}}\) là tam giác đều cạnh \({\rm{a}},\,\,{\rm{A}}A' = \frac{{3{\rm{a}}}}{2}\). Biết hình chiếu vuông góc của điểm \[A'\] lên mặt phẳng \(\left( {{\rm{ABC}}} \right)\) là trung điểm của cạnh \({\rm{BC}}\). Thể tích \({\rm{V}}\) của khối lăng trụ đó theo \(a\) là

\({\rm{V}} = \frac{{2{{\rm{a}}^3}}}{3}\).

\(V = \frac{{3{a^3}}}{{4\sqrt 2 }}\).

\({\rm{V}} = {{\rm{a}}^3}\).

\({\rm{V}} = {{\rm{a}}^3}\sqrt {\frac{3}{2}} \).

Giải thích

Media VietJack

Gọi \[M\] là trung điểm của \[BC.\]

Theo bài ra \[ABC\] là tam giác đều cạnh \[a\] nên:

\({\rm{AM}} = \frac{{{\rm{a}}\sqrt 3 }}{2};\,\,{{\rm{S}}_{{\rm{ABC}}}} = \frac{{{{\rm{a}}^2}\sqrt 3 }}{4}.\)

Hình chiếu vuông góc của điểm \[A'\] lên mặt phẳng \(\left( {{\rm{ABC}}} \right)\) là trung điểm \({\rm{M}}\) của cạnh \({\rm{BC}}\) nên

\({\rm{A'M}} \bot \left( {{\rm{ABC}}} \right){\rm{,}}\,\,{\rm{A'M}} \bot {\rm{BC}}\).

Xét tam giác \[A'MA\] vuông tại \[M\], ta có: \(A'M = \sqrt {A{{A'}^2} - A{M^2}} = \sqrt {{{\left( {\frac{{3a}}{2}} \right)}^2} - {{\left( {\frac{{a\sqrt 3 }}{2}} \right)}^2}} = \frac{{a\sqrt 6 }}{2}.\)

Thể tích của khối lăng trụ \[ABC.{\rm{ }}A'B'C'\] là:

\({{\rm{V}}_{ABC.{\rm{ }}A'B'C'}} = A'{\rm{M}} \cdot {{\rm{S}}_{{\rm{ABC}}}} = \frac{{{\rm{a}}\sqrt 6 }}{2} \cdot \frac{{{{\rm{a}}^2}\sqrt 3 }}{4} = \frac{{3{{\rm{a}}^3}}}{{4\sqrt 2 }}\). Chọn B.