Cho hình lăng trụ ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác đều, A'A = A'B = A'C = a. Biết góc giữa (BCC'B') và (ABC) bằng 60°, thể tích của khối lăng trụ đã cho bằng:

15/40

Cho hình lăng trụ $ABC.A'B'C'$ có đáy $ABC$ là tam giác đều, $A'A = A'B = A'C = a$. Biết góc giữa $\left( {BCC'B'} \right)$và $\left( {ABC} \right)$ bằng $60^\circ $, thể tích của khối lăng trụ đã cho bằng

$\frac{{3\sqrt 3 {a^3}}}{{32}}$.

$\frac{{7{a^3}}}{{24}}$.

$\frac{{9{a^3}}}{{32}}$.

$\frac{{3{a^3}}}{8}$.

Giải thích

$\frac{{9{a^3}}}{{32}}\). Chọn C. (ảnh 1)$

Do $ABC$là tam giác đều và cạnh $A'A = A'B = A'C = a$ nên hình chiếu của $A'$ trên đáy là trọng tâm $H$ của tam giác $ABC$.

Góc giữa $\left( {BCC'B'} \right)$ và đáy là góc giữa $MM'$ và $AM$ nên cũng là góc $\widehat {A'AH}$.

Suy ra $\widehat {A'AH} = 60^\circ $

Ta có $\Delta AA'H$ vuông tại \[H\]: \[\sin 60^\circ = \frac{{A'H}}{{A'A}} \Rightarrow A'H = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\].

$AH = A'A.\cos 60^\circ = \frac{a}{2}$. Suy ra $AM = \frac{3}{2}AH = \frac{3}{4}a$ , do đó $AB = \frac{{AM}}{{\sin 60^\circ }} = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}$ .

Diện tích tam giác $ABC$ là ${S_d} = \frac{{A{B^2}\sqrt 3 }}{4} = \frac{{3\sqrt 3 {a^2}}}{{16}}$

Vậy ${V_{ABC.A'B'C'}} = {S_{ABC}}.A'H = \frac{{3\sqrt 3 {a^2}}}{{16}} \cdot \frac{{a\sqrt 3 }}{2} = \frac{{9{a^3}}}{{32}}$. Chọn C.