Cho hình lăng trụ ABC.A'B'C' có A'A = A'B = A'C, cạnh bên AA' = 4, đáy ABC là tam giác đều.

Đáp án: 18.

Gọi \[H\] là hình chiếu của \[A'\] trên mặt phẳng \[\left( {ABC} \right)\]. Vì \[A'A = A'B = A'C\]nên \[HA = HB = HC\] do đó \[H\] là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác \[ABC\]. Mà \[ABC\] là tam giác đều nên \[H\] chính là trọng tâm của tam giác \[ABC\].

Gọi \[M = AH \cap BC\]\[ \Rightarrow \]\[M\] là trung điểm của đoạn \[BC\] và \[AM \bot BC\].

\[ \Rightarrow BC \bot \left( {A'AM} \right)\].

Gọi \[N\] là trung điểm của \[B'C'\], ta có \[MN{\rm{// }}BB'{\rm{// }}AA'\]. Do đó \[\left( {A'AM} \right) \equiv \left( {A'AMN} \right)\].

\[ \Rightarrow BC \bot MN\].

Ta có: \[\left\{ \begin{array}{l}\left( {BCC'B'} \right) \cap \left( {ABC} \right) = BC\\AM \subset \left( {ABC} \right),{\rm{ }}AM \bot BC\\MN \subset \left( {BCC'B'} \right),{\rm{ }}MN \bot BC\end{array} \right.\]

\[ \Rightarrow \left( {\left( {BCC'B'} \right),\left( {ABC} \right)} \right) = \left( {AM,MN} \right) = \left( {AM,AA'} \right) = \widehat {A'AM} = {60^ \circ }\].

Mặt khác ta có:

\[AA' = 4\]\[ \Rightarrow \]\[A'H = AA'.\sin {60^ \circ } = 2\sqrt 3 \], \[AH = AA'.\cos {60^ \circ } = 2 \Rightarrow AM = 3 \Rightarrow AB = 2\sqrt 3 \].

Vậy thể tích của khối lăng trụ đã cho là

\[V = A'H.{S_{ABC}} = 2\sqrt 3 .\frac{{{{\left( {2\sqrt 3 } \right)}^2}.\sqrt 3 }}{4} = 18\].