Cho hình lăng trụ ABC. A'B'C' có độ dài cạnh bên bằng 2a, đáy ABC là tam giác vuông tại A, AB = a;  

Đáp án

0,25

Giải thích

Gọi \(O\) là trung điểm của \(BC,H\) là trung điểm của \(AB,K\) là trung điểm của \(AC\) thì \(OHAK\) là hình chữ nhật. Ta có

\(BC = \sqrt {A{B^2} + A{C^2}}  = 2a,OA = \frac{{BC}}{2} = a\)

\(OA' = \sqrt {A{{A'}^2} - O{A^2}}  = \sqrt {4{a^2} - {a^2}}  = a\sqrt 3 \)

\(OH = \frac{{AC}}{2} = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\)

\(OK = \frac{{AB}}{2} = \frac{a}{2}\)

Chọn hệ trục tọa độ \(Oxyz\) sao cho tia \(Ox\) chứa \(H\), tia \(Oy\) chứa \(K\) và tia \(Oz\) chứa \(A'\) (xem hình vẽ).

Khi đó \(A'\left( {0;0;a\sqrt 3 } \right),A\left( {\frac{{a\sqrt 3 }}{2};\frac{a}{2};0} \right),B\left( {\frac{{a\sqrt 3 }}{2}; - \frac{a}{2};0} \right),C\left( { - \frac{{a\sqrt 3 }}{2};\frac{a}{2};0} \right)\).

\(\overrightarrow {AA'}  = \left( { - \frac{{a\sqrt 3 }}{2}; - \frac{a}{2};a\sqrt 3 } \right),\overrightarrow {BC}  = \left( { - a\sqrt 3 ;a;0} \right)\). Gọi \(\varphi \) là góc giữa \(AA'\) và \(B'C'\). Khi đó:

\(\cos \varphi  = \left| {\cos \left( {\overrightarrow {A{A^\prime }} ,\overrightarrow {BC} } \right)} \right| = \frac{{\left| {\overrightarrow {A{A^\prime }} .\overrightarrow {BC} } \right|}}{{\overrightarrow {A{A^\prime }} .\overrightarrow {BC} }} = \frac{1}{4} = 0,25.\)