Cho hình lăng trụ ABC.A′B′C′. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của AB, BC, AA′. Mặt phẳng (MNP) cắt cạnh B′C tại K. Tính tỉ số \(\frac{{KB'}}{{KC}}\).

Đáp án: 3

Gọi O là tâm của hình bình hành BCC′B′.

Vì M, N lần lượt là trung điểm của AB, BC nên MN là đường trung bình của ΔABC.

Suy ra MN ∥ AC.

Lại có P ∈ (MNP) ∩ (ACC′A′) nên giao tuyến của 2 mặt phẳng này đi qua P và song song với AC cắt CC′ tại Q (Q là trung điểm của CC′ do P là trung điểm của AA′).

Trong mặt phẳng BCC′B′ kẻ QN cắt B′C tại K.

Ta có: Q ∈ (MNP) vì Q thuộc giao tuyến (MNP) ∩ (ACC′A′), N ∈ (MNP).

⇒ QN ⊂ (MNP).

Do K ∈ QN nên K ∈ (MNP), mà K ∈ B′C.

Suy ra K = B′C ∩ (MNP).

Vì Q, N là trung điểm của CC′ và BC nên QN là đường trung bình ΔBCC′.

Suy ra QN ∥ BC′.

Xét △CC′O, Q là trung điểm của CC′, QK ∥ C′O (vì QN ∥ BC′ và O ∈ BC′) ⇒ K là trung điểm của CO.

⇒ \(\frac{{CK}}{{CO}} = \frac{1}{2}\) ⇒ \(\frac{{CK}}{{\frac{1}{2}B'C}} = \frac{1}{2}\) ⇒ \(\frac{{CK}}{{B'C}} = \frac{1}{4}\) ⇒ \(\frac{{KB'}}{{KC}}\) = 3.