Cho hình lăng trụ ABC. A'B'C' có đáy là tam giác giác vuông cân tại $A$ với cạnh huyền $BC = 2a$.

15/22

Cho hình lăng trụ $ABC \cdot {A^\prime }{B^\prime }{C^\prime }$ có đáy là tam giác giác vuông cân tại $A$ với cạnh huyền $BC = 2a$. Biết ${A^\prime }H \bot (ABC)$ với $H$ là trung điểm $BC$. Khi đó:

$BC \bot \left( {A{A^\prime }H} \right)$

ĐúngSai

${B^\prime }{C^\prime } \bot A{A^\prime }$.

ĐúngSai

Tìm được hình chiếu của tam giác ${A^\prime }AB$ trên mặt phẳng $(ABC)$ khi đó, diện tích hình chiếu đó theo $a$ bằng: $\frac{{{a^2}}}{3}.$

ĐúngSai

Gọi $I$ là hình chiếu của ${A^\prime }$ trên mặt phẳng $\left( {BC{C^\prime }{B^\prime }} \right)$. Biết ${A^\prime }I = \frac{a}{2}$. Khi đó độ dài ${A^\prime }H$ theo $a$ bằng: $\frac{{a\sqrt 3 }}{2}$.

ĐúngSai

Giải thích

a) Đúng

b) Đúng

c) Sai

d) Sai

$Cho hình lăng trụ ABC. A'B'C' có đáy là tam giác giác vuông cân tại $A$ với cạnh huyền $BC = 2a$. (ảnh 1)$

Ta có: \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{BC \bot {A^\prime }H\left( {{\rm{do }}{A^\prime }H \bot (ABC)} \right)}\\{BC \bot AH({\rm{do }}\Delta ABC{\rm{ vuo\^a ng ta\"i i }}A,H{\rm{ la{\o} trung \~n ie{\aa}m }}BC)}\end{array}} \right.\]

$ \Rightarrow BC \bot \left( {A{A^\prime }H} \right)$.

Mặt khác ${B^\prime }{C^\prime }//BC$ nên ${B^\prime }{C^\prime } \bot \left( {A{A^\prime }H} \right) \Rightarrow {B^\prime }{C^\prime } \bot A{A^\prime }$.

Vì ${A^\prime }H \bot (ABC)$ nên hình chiếu của $A{A^\prime }$ trên $(ABC)$ là $AH$, hình chiếu của ${A^\prime }B$ trên $(ABC)$ là $BH$.

Vậy hình chiếu của tam giác ${A^\prime }AB$ trên mặt phẳng $(ABC)$ chính là tam giác $ABH$.

Tam giác $ABC$ vuông cân tại $A$ có $BC = 2a \Rightarrow AB = AC = a\sqrt 2 $.

Diện tích tam giác $ABH$ là:

${S_{\Delta ABH}} = \frac{1}{2}{S_{ABC}} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}AB \cdot AC = \frac{1}{4}{(a\sqrt 2 )^2} = \frac{{{a^2}}}{2}.$

Gọi $K$ là trung điểm ${B^\prime }{C^\prime }$. Dễ thấy $\left( {{A^\prime }AH} \right) \equiv \left( {AHK{A^\prime }} \right)$.

Mà ${B^\prime }{C^\prime } \bot \left( {A{A^\prime }H} \right)$ nên ${B^\prime }{C^\prime } \bot \left( {AHK{A^\prime }} \right)$.

Trong mặt phẳng $\left( {AHK{A^\prime }} \right)$, kẻ ${A^\prime }I \bot HK$ tại $I$. (1)

Vì ${B^\prime }{C^\prime } \bot \left( {AHK{A^\prime }} \right),{A^\prime }I \subset \left( {AHK{A^\prime }} \right)$ nên ${A^\prime }I \bot {B^\prime }{C^\prime }$. (2)

Từ (1) và (2) suy ra ${A^\prime }I \bot \left( {BC{C^\prime }{B^\prime }} \right)$ hay $I$ là hình chiếu của ${A^\prime }$ trên mặt phẳng $\left( {BC{C^\prime }{B^\prime }} \right)$.

Tam giác ${A^\prime }{B^\prime }{C^\prime }$ vuông cân tại ${A^\prime }$ nên ${A^\prime }K = \frac{{{B^\prime }{C^\prime }}}{2} = a$.

Tam giác ${A^\prime }HK$ vuông tại ${A^\prime }$ có đường cao ${A^\prime }I$ nên ta có:

$\frac{1}{{{A^\prime }{I^2}}} = \frac{1}{{{A^\prime }{H^2}}} + \frac{1}{{{A^\prime }{K^2}}} \Rightarrow \frac{1}{{{A^\prime }{H^2}}} = \frac{1}{{\frac{{{a^2}}}{4}}} - \frac{1}{{{a^2}}} = \frac{3}{{{a^2}}} \Rightarrow {A^\prime }H = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}$

Đề kiểm tra Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (có lời giải) - Đề 3

Cho hình lăng trụ ABC. A'B'C' có đáy là tam giác giác vuông cân tại \(A\) với cạnh huyền \(BC = 2a\).