Cho hình lăng trụ ABC . A ′B ′C ′ , khoảng cách từ C đến đường thẳng BB ′ bằng 2, khoảng cách từ A đến các đường thẳng BB ′ và CC ′ lần lượt bằng 1 và √ 3 ,

Gọi \(N\) là trung điểm \(BC\). Gọi \(E\) là hình chiếu của \(A\) trên \(BB'\), F là hình chiếu của \(A\) trên \(CC'\)

Ta có \(H\) là trung điểm của \(EF\).

Ta có \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{AE \bot AA'}\\{AF \bot AA'}\end{array} \Rightarrow AA' \bot \left( {AEF} \right) \Rightarrow AA' \bot EF \Rightarrow BB' \bot EF} \right.\).

Khi đó \(d\left( {A,BB'} \right) = AE = 1,d\left( {A,CC'} \right) = AF = \sqrt 3 ,d\left( {C,BB'} \right) = EF = 2\).

Tam giác \(AEF\) có \(A{E^2} + A{F^2} = E{F^2}\) nên tam giác \(AEF\) vuông tại \(A\), suy ra \(AH = \frac{{EF}}{2} = 1\).

Lại có \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{AA' \bot \left( {AEF} \right)}\\{MN//AA'}\end{array} \Rightarrow MN \bot \left( {AEF} \right) \Rightarrow MN \bot AH} \right.\).

Tam giác \(AMN\) vuông tại \(A\) có đường cao \(AH\) nên

\(\frac{1}{{A{M^2}}} = \frac{1}{{A{H^2}}} - \frac{1}{{A{N^2}}} = 1 - \frac{3}{4} = \frac{1}{4} \Rightarrow AM = 2\).

Mặt khác \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\left( {AA'NM} \right) \bot \left( {ABC} \right)}\\{\left( {AA'NM} \right) \bot \left( {AEF} \right)}\\{\left( {AA'NM} \right) \cap \left( {ABC} \right) = AN}\\{\left( {AA'NM} \right) \cap \left( {AEF} \right) = AH}\end{array} \Rightarrow } \right.\) Góc giữa mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) và \(\left( {AEF} \right)\) là \(\widehat {HAN}\).

Hình chiếu của tam giác \(ABC\) lên mặt phẳng (AEF) là tam giác \(AEF\) nên

\({S_{AEF}} = {S_{ABC}} \cdot \cos \widehat {HAN} \Rightarrow \frac{1}{2}AE \cdot AF = {S_{ABC}} \cdot \frac{{AH}}{{AN}}\)\( \Rightarrow {S_{ABC}} = \frac{1}{2}\frac{{AE \cdot AF \cdot AN}}{{AH}} = \frac{1}{2} \cdot \frac{{1 \cdot \sqrt 3  \cdot \frac{{2\sqrt 3 }}{3}}}{1} = 1\).

Vậy \({V_{ABC.A'B'C'}} = {S_{ABC}} \cdot AM = 1 \cdot 2 = 2\). Chọn D.