Cho hình hộp đứng ABCD.A'B'C'D' có đáy ABCD là hình thoi cạnh 2a, cạnh bên AA' = a căn bậc hai 2 và AD' vuông góc BA'. Khoảng cách giữa hai đường thẳng AD' và BA' bằng

Lời giải

Gọi \(E\) là điểm đối xứng với \(B'\) qua \(B\).

Khi đó: \(AA'BE\) là hình bình hành \( \Rightarrow A'B{\rm{//}}AE \Rightarrow A'B{\rm{//}}\left( {AD'E} \right)\).

Suy ra \[d\left( {A'B,AD'} \right) = d\left( {A'B,\left( {AD'E} \right)} \right) = d\left( {B,\left( {AD'E} \right)} \right)\].

Gọi \(I = AC \cap BD\).

Khi đó: \(\left\{ \begin{array}{l}AI \bot BD\\AI \bot DD'\,\,\left( {{\rm{do}}\,DD' \bot \left( {ABCD} \right)} \right)\end{array} \right. \Rightarrow AI \bot \left( {DD'B'B} \right)\)\( \Rightarrow \left( {AD'E} \right) \bot \left( {DD'B'B} \right)\).

Trong \(mp\left( {DD'B'B} \right)\), kẻ \(BH \bot D'E\). Suy ra \(BH \bot \left( {AD'E} \right) \Rightarrow d\left( {B,\left( {AD'E} \right)} \right) = BH\).

Tính \(BH\):

Xét tam giác \(ABA'\) vuông tại \(A\) có \(BA' = \sqrt {A{B^2} + A{{A'}^2}}  = \sqrt {{{\left( {2a} \right)}^2} + {{\left( {a\sqrt 2 } \right)}^2}}  = a\sqrt 6 \).

Vì \[AD' \bot BA' \Rightarrow BA' \bot BC'\,\,\left( {AD'{\rm{//}}BC'} \right) \Rightarrow \Delta A'BC'\] vuông cân tại \(B\).

\( \Rightarrow A'C' = A'B\sqrt 2  = 2a\sqrt 3  \Rightarrow AI = a\sqrt 3 \).

Xét tam giác \(ABI\) vuông tại \(I\) có: \(BI = \sqrt {A{B^2} - A{I^2}}  = \sqrt {{{\left( {2a} \right)}^2} - {{\left( {a\sqrt 3 } \right)}^2}}  = a\).

Xét \(\Delta IBE\) vuông tại \(B\) có: \(BE = AA' = a\sqrt 2 ,BI = a\).

\( \Rightarrow \frac{1}{{B{H^2}}} = \frac{1}{{B{I^2}}} + \frac{1}{{B{E^2}}} \Rightarrow BH = \frac{{BI \cdot BE}}{{\sqrt {B{I^2} + B{E^2}} }} = \frac{{a \cdot a\sqrt 2 }}{{\sqrt {{a^2} + {{\left( {a\sqrt 2 } \right)}^2}} }} = \frac{{a\sqrt 6 }}{3}\). Chọn B.