Cho hình hộp chữ nhật ABCD.EFGH với AB = 6, AD = 8, DH = 10. Gọi điểm M là trung điểm của đoạn thẳng AF và điểm I thuộc mặt phẳng (ABCD). Khi IM + IG nhỏ nhất thì điể

18/22

Cho hình hộp chữ nhật $ABCD.EFGH$ với $AB = 6\,,\,AD = 8\,,\,DH = 10$. Gọi điểm $M$ là trung điểm của đoạn thẳng \[AF\] và điểm $I$ thuộc mặt phẳng $\left( {ABCD} \right)$. Khi $IM + IG$ nhỏ nhất thì điểm $I$ cách hai đường thẳng $BA$ và $BC$ tương ứng bằng $a$ và $b$. Giá trị của biểu thức $P = 3a + 6b$ bằng bao nhiêu?

Nhập câu trả lời ở đây

Giải thích

Đáp án: 20

$Vậy \(P = 3a + 6b = 3.\frac{8}{3 (ảnh 1)$

Chọn hệ trục toạ độ $Oxyz$ sao cho gốc toạ độ là điểm $B\left( {0\,;\,0\,;\,0} \right)$, trục $Ox$ trùng với tia $BC$, trục $Oy$ trùng với tia $BA$, trục $Oz$ trùng với tia $BF$.

Theo bài ra ta có: $AB = 6\,,\,AD = 8\,;\,DH = 10$, nên ta có:

$C\,\left( {8\,;\,0\,;\,0} \right)\,,\,A\,\left( {0\,;\,6\,;\,0} \right)\,,\,D\,\left( {8\,;\,6\,;\,0} \right)\,,\,F\,\left( {0\,;\,0\,;\,10} \right)\,,\,G\,\left( {8\,;\,0\,;\,10} \right)\,,\,E\,\left( {0\,;\,6\,;\,10} \right)\,,\,H\,\left( {8\,;\,6\,;\,10} \right)$,

Vì $M$ là trung điểm của \[AF\], nên $M\left( {0\,;\,3\,;\,5} \right)$. Điểm $I \in \left( {Oxy} \right)\, \Rightarrow \,I\,\left( {{x_0}\,;\,{y_0}\,;\,0} \right)$

Nhận thấy $M$ và $G$ nằm cùng phía so với mặt phẳng $\left( {Bxy} \right)\,$, nên ta lấy điểm $M'$ đối xứng với điểm $M$qua mặt phẳng $\left( {Bxy} \right)\,$, thì $M'\,\left( {0\,;\,3\,;\, - 5} \right)$.

Khi đó: $IM = IM'\,$ $ \Rightarrow IM + IG = IM' + IG \ge M'G$

Vậy tổng $IM' + IG$ nhỏ nhất khi $IM' + IG = M'G$, suy ra ba điểm $I\,,\,M'\,,\,G$ thẳng hàng. Vậy $I$ là giao điểm của $M'G$ với mặt phẳng $\left( {Bxy} \right)\,$, $ \Rightarrow I\, \in M'G\,\,,\,\,I \in \left( {Bxy} \right)$.

* Tìm $M$:

Phương trình tham số của đường thẳng $M'G$ đi qua điểm $M'\,\left( {0\,;\,3\,;\, - 5} \right)$, có véc tơ chỉ phương $\overrightarrow {M'G} = \left( {8\,;\, - 3\,;\,15} \right)$ là: $\left\{ \begin{array}{l}x = 8t\\y = 3 - 3t\\z = - 5 + 15t\end{array} \right.$. Suy ra điểm $I\,\left( {8t\,;\,3 - 3t\,;\, - 5 + 15t} \right)$.

Mà $I \in \left( {Bxy} \right)\, \Rightarrow {z_I} = 0 \Leftrightarrow - 5 + 15t = 0 \Leftrightarrow t = \frac{1}{3} \Rightarrow I\,\left( {\frac{8}{3}\,;\,2\,;\,0} \right)$.

Khoảng cách từ điểm $I$ đến $BA$ và $BC$ là ${x_I} = \frac{8}{3}\,$ và ${y_I} = 2\,$ $\, \Rightarrow \,a = \frac{8}{3}\,,\,\,b = 2$

Vậy $P = 3a + 6b = 3.\frac{8}{3} + 6.2 = 20$.