Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D'có đáy ABCD là hình vuông cạnh a căn 2

26/235

Cho hình hộp chữ nhật \(ABCD.A'B'C'D'\) có đáy \(ABCD\) là hình vuông cạnh \(a\sqrt 2 \), \(AA' = 2a\). Khoảng cách giữa hai đường thẳng \(BD\) và \(CD'\) bằng:

\(\frac{{a\sqrt 5 }}{5}\).

\(\frac{{2a\sqrt 5 }}{5}\).

\(2a\).

\(a\sqrt 2 \).

Giải thích

Gọi \(O,\,\) lần lượt là tâm của hai mặt đáy. Khi đó tứ giác \(COO'C'\)là hình bình hành và \(C'O' = \frac{{AC}}{2} = a\).

Do \(BD\;{\rm{//}}\;B'D'\)\[ \Rightarrow BD\;{\rm{//}}\;\left( {CB'D'} \right)\] nên ta có:

\(d\left( {BD,CD'} \right) = d\left( {O,\left( {CB'D'} \right)} \right) = d\left( {C',\left( {CB'D'} \right)} \right)\).

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}B'D' \bot A'C'\\B'D' \bot CC'\end{array} \right. \Rightarrow B'D' \bot \left( {COO'C'} \right)\)

\( \Rightarrow \left( {CB'D'} \right) \bot \left( {COO'C'} \right)\).

Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D'có đáy ABCD là hình vuông cạnh a căn 2 (ảnh 1)

Lại có \(\left( {CB'D'} \right) \cap \left( {COO'C'} \right) = CO'\).

Trong \(\Delta CC'O'\) hạ \(C'H \bot CO' \Rightarrow C'H \bot \left( {CB'D'} \right)\)\( \Rightarrow d\left( {BD,\,CD'} \right) = C'H\).

Khi đó: \(\frac{1}{{C'{H^2}}} = \frac{1}{{C{{C'}^2}}} + \frac{1}{{C'{{O'}^2}}} = \frac{1}{{{{\left( {2a} \right)}^2}}} + \frac{1}{{{a^2}}} = \frac{5}{{4{a^2}}}\)\( \Rightarrow C'H = \frac{{2a\sqrt 5 }}{5}\). Chọn B.