Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D'. Gọi x, y, z theo thứ tự là số đo các góc hợp bởi vectơ AC' với các vectơ AB ,AD ,AA'. Chứng minh cos2x + cos2y + cos2Z = 1.

Gọi a, b, c, d lần lượt là độ dài của AB, AD, AA' và AC'.

Ta có: \(A{C'^2} = A{B^2} + A{D^2} + A{A'^2}\)

   ⇔ d2 = a2 + b2 + c2, cosx = \(\frac{a}{d}\), cosy = \(\frac{b}{d}\), cosz = \(\frac{c}{d}\).

Suy ra cos2x + cos2y + cos2z = \({\left( {\frac{a}{d}} \right)^2} + {\left( {\frac{b}{d}} \right)^2} + {\left( {\frac{c}{d}} \right)^2}\)= \(\frac{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}}{{{d^2}}} = \frac{{{d^2}}}{{{d^2}}} = 1\).

Vậy cos2x + cos2y + cos2Z = 1.