Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB = 4AD = 4a và AA' = a. Gọi α là số đo của góc nhị diện [A', BD, C]. Tính α theo đơn vị độ, làm tròn kết quả đến hàng đơn v

Đáp án: 46.

Trong mặt phẳng đáy \((ABCD)\), kẻ \(AH \bot BD\) tại \(H\).

Vì \(ABCD.A'B'C'D'\)là hình hộp chữ nhật nên \(AA' \bot (ABCD)\), suy ra \(AA' \bot BD\).

Từ \(AH \bot BD\) và \(AA' \bot BD\), ta suy ra \(BD \bot (A'AH) \Rightarrow BD \bot A'H\).

Góc nhị diện \([A',BD,C]\)là góc tạo bởi hai nửa mặt phẳng \((BDA')\) và \((BDC)\) có chung bờ là đường thẳng\(BD\).

Trong mặt phẳng \((A'AH) \bot BD\), ta có tia \(HA'\)nằm trong nửa mặt phẳng \((BDA')\).

Trong mặt phẳng đáy \((ABCD)\), ta cần tìm một tia \(Hx \bot BD\) và hướng về phía nửa mặt phẳng chứa điểm \(C\). Vì \(ABCD\) là hình chữ nhật, đường chéo\(BD\) chia mặt phẳng ra làm hai nửa, \(A\) và \(C\) nằm ở hai nửa mặt phẳng đối nhau. Do \(HA \bot BD\) và hướng về phía \(A\), nên tia \(Hx\)hướng về phía \(C\) chính là tia đối của tia\(HA\).

Vậy góc nhị diện cần tìm là \(\alpha  = \widehat {A'Hx}\).

Vì \(HA\) và \(Hx\) là hai tia đối nhau nên: \(\alpha  = \widehat {A'Hx} = 180^\circ  - \widehat {A'HA}\).

Xét tam giác \(ABD\) vuông tại \(A\) (do \(ABCD\)là hình chữ nhật), áp dụng hệ thức lượng, ta có:

\(\frac{1}{{A{H^2}}} = \frac{1}{{A{B^2}}} + \frac{1}{{A{D^2}}} = \frac{1}{{{{(4a)}^2}}} + \frac{1}{{{a^2}}} = \frac{1}{{16{a^2}}} + \frac{1}{{{a^2}}} = \frac{{17}}{{16{a^2}}}\)\( \Rightarrow AH = \frac{{4a}}{{\sqrt {17} }}\)

Xét tam giác \(A'AH\) vuông tại \(A\) (do \(AA' \bot (ABCD)\)):

\(\tan \widehat {A'HA} = \frac{{AA'}}{{AH}} = \frac{a}{{\frac{{4a}}{{\sqrt {17} }}}} = \frac{{\sqrt {17} }}{4}\)\( \Rightarrow \widehat {A'HA} \approx 46^\circ \).