Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' có ABCD là hình vuông cạnh 2 và góc giữa hai mặt phẳng (AC'D') và (ABCD) bằng 30o. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AD' và A'B (kết quả làm tròn đến c

Vì \(\left( {ABCD} \right)\parallel \left( {A'B'C'D'} \right)\) nên góc giữa \(\left( {AC'D'} \right)\) và mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\) bằng góc giữa \(\left( {AC'D'} \right)\) và mặt phẳng \(\left( {A'B'C'D'} \right)\).

Ta có \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left( {AC'D'} \right) \cap \left( {A'B'C'D'} \right) = C'D'}\\{AD' \bot C'D'}\\{A'D' \bot C'D'}\end{array}} \right.\)\( \Rightarrow \left( {\left( {AC'D'} \right);\left( {A'B'C'D'} \right)} \right) = \left( {AD';\,A'D'} \right)\)\( = \widehat {AD'A'} = 30^\circ \).

Trong tam giác vuông \(AA'D'\) có \(AA' = A'D'.\tan 30^\circ  = \frac{{2\sqrt 3 }}{3}\).

Vì \(A'B\parallel CD'\) nên \(A'B\parallel \left( {ACD'} \right)\) suy ra \(d\left( {A'B;\,AD'} \right) = d\left( {A'B;\,\left( {ACD'} \right)} \right) = d\left( {A';\,\left( {ACD'} \right)} \right)\)

Mặt khác \(A'B \cap \left( {ACD'} \right) = I\) là trung điểm của \(A'D\) nên \(d\left( {A';\,\left( {ACD'} \right)} \right) = d\left( {D;\,\left( {ACD'} \right)} \right)\).

Tại \(D\) ta có ba tia \(DA,\,DC,\,DD'\) đôi một vuông góc nên:

\(\frac{1}{{{d^2}\left( {D;\,\left( {ACD'} \right)} \right)}} = \frac{1}{{D{A^2}}} + \frac{1}{{D{C^2}}} + \frac{1}{{D{{D'}^2}}}\)\( = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} + \frac{3}{4} = \frac{5}{4}\)

Suy ra \(d\left( {D;\,\left( {ACD'} \right)} \right) = \frac{{2\sqrt 5 }}{5}\) hay \(d\left( {A'B;\,AD'} \right) = \frac{{2\sqrt 5 }}{5} \approx 0,89\)